Il y a deux points de vue possible : graphique et numérique.
Graphique
Soient $C$ la représentation graphique d’une fonction $f$ dans un plan rapporté à un repère $\left(0,\vec i,\vec j\right)$, $M_0\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)$ et $M\bigl(x_0+h,f(x_0+h)\bigr)$ deux points distincts ($h\ne 0$) de $(C)$.
Le coefficient directeur de la droite $(M_0M)$ est :\[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\]
Grâce à la définition dune tangente à une courbe, nous obtenons la propriété suivante.
Si $f$ est dérivable en $x_0$, la droite $D_0$ passant par le point $M_0$ de coordonnées $\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)$ et de coefficient directeur\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\,\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=f'(x_0)\]est la tangente en $M_0$ à $(C)$.
Nous en déduisons :
L’équation cartésienne réduite de la tangente $D_0$ est :\[y=f'(x_0) (x-x_0)+f(x_0).\]
La fonction $x\mapsto f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ définie sur $\R$, de représentation graphique la tangente $D_0$, est appelée fonction affine tangente à $f$ en $x_0$.
Que peut-on dire par rapport à la notion de tangente lorsque $f$ est non dérivable ?Les différentes situations suivantes sont possibles :
- $\lim\limits_{x\to x_0}\,\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ n’existe pas mais les limites à droite $\lim\limits_{x\to x_0+}\,\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ et/ou à gauche $\lim\limits_{x\to x_0-}\,\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existent.
Alors, $f$ est dérivable à droite et/ou à gauche et le graphe de $f$ admet au point d’abscisse $x_0$ une demi-tangente. - $\lim\limits_{x\to x_0}\,\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\pm\infty$. $f$ est non dérivable en $x_0$ mais le graphe de $f$ admet au point d’abscisse $x_0$ une tangente verticale.
Numérique : approximation affine
La fonction $x\mapsto f(x)$ admet une approximation affine $x\mapsto f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ en $x_0$.
De l’égalité $f(x)-\bigl(f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\bigr)=(x-x_0)\epsilon(x-x_0)$ vu précédemment, nous obtenons :\[f(x)\simeq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).\]
Déterminer une valeur approchée de $\sqrt{10 001}$.
Prenons $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{x}$, $x_0=10000$ et $x=10001$.
Nous avons :\[f'(10000)=\frac{1}{2\sqrt{10000}}=\frac{1}{200}.\]Nous obtenons :\[\sqrt{10001}\simeq\sqrt{10 000}+\frac{1}{200}(10 001-10 000)\simeq 100{,}005.\]Le résultat donné par une calculette est : $100{,}0049999$.
Cette technique d’approximation est très utile dans les sciences appliquées.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(1+x)^n$ où $n$ est un réel non nul.
$f$ est dérivable sur ${]-1,+\infty[}$ et nous avons : \[\forall x\in {]-1,+\infty[},\;f'(x)=n(1+x)^{n-1}\] et donc, $f'(0)=n$.
Cette formule va nous permettre d’obtenir des valeurs approchées de $(1+x)^n$ lorsque $x$ est voisin de $0$ :\[(1+x)n\simeq 1+nx.\]Formule habituellement écrite sous la forme :\[(1+\epsilon)^n\simeq 1+n\epsilon\quad\text{pour $\epsilon$ voisin de $0$}.\]
Un pendule pesant assimilable à un pendule simple est formé d’une sphère très petite et très dense placée à l’extrémité d’un fil dont la masse est négligeable devant celle de la sphère et dont la dilatabilité linéaire moyenne entre $0\text{°C}$ et $\theta\text{°C}$ est $\lambda_m$.
Nous avons $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ et $\ell=\ell_0(1+\lambda_m\theta)$.
Evaluer la variation relative $\dfrac{T-T_0}{T_0}$ de la période des petites oscillations de ce pendule lorsque la température passe de $0\text{°C}$ à $\theta\text{°C}$.
Nous obtenons : \[\frac{T}{T_0}=\sqrt{\frac{\ell}{\ell_0}}=\sqrt{\frac{\ell_0\left(1+\lambda_m\theta\right)}{\ell_0}}={\left(1+\lambda_m\theta \right)}^{1/2}\simeq 1+\frac{\lambda_m\theta}{2}.\]D’où :\[\frac{T-T_0}{T_0}\simeq\frac{\lambda_m\theta}{2}.\]