Nous avons déjà vu la notion de famille génératrice. Reprenons plus en détail cette notion.
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $\{v_1, v_2,\ldots,v_p\}$$\{v_1, v_2,\ldots,v_p\}=\{v_i\vert i=1,\ldots,p\}$ une famille de $p$ vecteurs de $E$.
La famille $\{v_1,v_2,\ldots,p\}$ est génératrice si par définition tout élément de $E$ peut s’écrire comme une combinaison linéaire des éléments de cette famille.\[\forall v\in E,\ \exists (\lambda_1,\ldots,\lambda_p)\in \mathbb{K}^p\vert v=\sum\limits_{i=1}^{p}\lambda_iv_i\]
Voir l'animation- La famille $\{v_1,\ldots,v_p\}$ est génératrice de $E$ si et seulement si\[E=Vect(\{v_1,v_2,\ldots,v_p\}).\]
- Il n’est pas aisé en général de montrer directement à l’aide de la définition qu’une famille est ou non génératrice. Nous verrons rapidement d’autres méthodes que la définition pour conclure à cette question.
- $E=\mathbb{R}^2[X]$.
Tout élément de $E$ s’écrit sous la forme $P=a_0+a_1X+a_2X^2$. Donc, $P$ est une combinaison linéaire de $1$, $X$ et $X^2$. Ainsi, la famille $\{1,X,X^2\}$ est une famille génératrice de $E$. - $E=\mathbb{R}^2$.
Tout élément $(a,b)$ de $E$ s’écrit $a(1,0)+b(0,1)$. Ainsi, la famille $\{(1,0), (0,1)\}$ est une famille génératrice de $E$.
Soient $F=\Vect\bigl(\{u_1,u_2,\ldots,u_p\}\bigr)$ et $G=\Vect\bigl(\{v_1,v_2,\ldots,v_q\}\bigr)$ deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel $E$. Alors :\[F+G=\Vect\bigl(\{u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_q\}\bigr).\]Autrement dit, la réunion d’une famille génératrice de $F$ et d’une famille génératrice de $G$ est une famille génératrice de $F+G$.
Procédons par double inclusion.
Montrons dans un premier temps l’inclusion $F+G\subset\Vect\bigl(\{u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_q\}\bigr)$.
Soit $w$ un vecteur de $F+G$. Il existe $w_F$ élément de $F$ et $w_G$ élément de $G$ tel que $w=w_F+w_G$. Or, comme $w_F$ est élément de $F$, ce vecteur est une combinaison linéaire de $u_1,u_2,\ldots,u_p$. De même, $w_G$ est une combinaison linéaire de $v_1,v_2,\ldots,v_q$.
Ainsi, $w$ est une combinaison linéaire de $u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_q$ et donc $w$ est élément de $\Vect\bigl(\{u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_q\}\bigr)$Montrons l’inclusion réciproque $\Vect\bigl(\{u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_q\}\bigr)\subset F+G$.
Soit $w$ un élément de $\Vect\bigl(\{u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_q\}\bigr)$.\[\exists {(\alpha_i)}_{i=1,\ldots,p}\in \mathbb{K}^p,\ \exists {( \beta_i )}_{i=1,\ldots,q}\in\mathbb{K}^q,\ w=\sum\limits_{i=1}^{p}{\alpha_iu_i}+\sum\limits_{i=1}^{q}{\beta_iv_i}\]Or, $\sum\limits_{i=1}^{p}{\alpha_iu_i}$ est une combinaison linéaire de vecteurs de $F$ donc ce vecteur est élément de $F$. De même, $\sum\limits_{i=1}^{q}{\beta_iv_i}$ est élément de $G$.
Donc, $x$ est élément de $F+G$.D’où le résultat.
Le théorème qui suit est très important. Il nous permettra d’obtenir de manière théorique et pratique des bases.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non réduit à $\{0_E\}$. Si $E$ possède une famille génératrice finie, alors on peut extraire de cette famille une famille génératrice et libre.
Soit $\mathscr{F}=\{v_1,\ldots,v_p\}=\{v_i\vert i=1,\ldots,p\}$ une famille génératrice de $E$.
Comme $E$ est distinct de $\{0_E\}$, il existe au moins un vecteur non nul dans cette famille.
Si la famille $\mathscr{F}$ est libre, alors nous pouvons considérer $\mathscr{F}$ comme une famille extraite libre et génératrice de $E$. Sinon, la famille $\mathscr{F}$ est liée.Nous avons vu qu’alors au moins un de ces vecteurs est une combinaison linéaire des autres vecteurs. Par exemple, $\displaystyle{\exists {(\alpha_j)}_{j=1,\ldots,p-1}\in \mathbb{K}^{p-1},\ v_p=\sum\limits_{j=1}^{p-1}\alpha_jv_j}$.
Montrons que la famille $\mathscr{F}_1=\mathscr{F}\backslash\{v_p\}=\{v_1, v_2,\ldots,v_{p-1}\}=\{v_i\vert i=1,\ldots,p\}$ est encore génératrice de $E$.
Soit $u$ un vecteur de $E$. Comme $\mathscr{F}=\{v_1,\ldots,v_p\}$ est une famille génératrice de $E$ \[\exists{(\beta_i)}_{i=1,\ldots,p}\in \mathbb{K}^p,\ u=\sum\limits_{i=1}^{p}\beta_iv_i.\]Nous obtenons :\[u=\sum\limits_{i=1}^{p-1}{\beta_iv_i}+\beta_Pv_p=\sum\limits_{i=1}^{p-1}\beta_iv_i+\beta_P\sum\limits_{j=1}^{p-1}\alpha_jv_j=\sum\limits_{i=1}^{p-1}(\beta_i+\beta_P\alpha_i)v_i.\]D’où le résultat et ainsi, $\mathscr{F}_1$ est génératrice.
Deux cas se produisent :
- Si $\mathscr{F}_1$ est libre, nous avons extrait une famille libre et génératrice.
Sinon, nous recommençons à partir de $\mathscr{F}_1$ la procédure ci-dessus. Nous pouvons extraire de cette famille une sous famille (avec un vecteur de moins) qui est encore génératrice.
Si cette nouvelle sous-famille est libre, nous nous arrêtons. Sinon, nous extrayons de nouveau une sous famille encore génératrice… Après au maximum $(p-1)$ étapes, nous obtiendrons une sous-famille libre et génératrice.
D’où le résultat.