Un ressort (R), à spires non jointives, a pour raideur $k$ et pour longueur à vide $l_0$. On fixe une de ses extrémités en $A$ et on accroche l’autre sur un solide (S) de masse $m$. (S) peut glisser le long d’une tige horizontale d’axe $x’Ox$.
Lorsque le solide est à l’abscisse $x$, l’énergie potentielle du système a pour expression :\[E_p=\frac{1}{2}kx^2+k{\ell_0}\left(l-\sqrt{x^2+l^2}\right).\]La résultante des forces $\vec{X}$ appliquée à (S) a pour mesure algébrique :\[X=-k\left(1-\frac{l_0}{\sqrt{\ell^2+x^2}}\right)x.\]Que deviennent les expressions de $E_p$ et de $X$ lorsque $|x|\ll \ell$ ?
Pour $|x|\ll \ell$, nous avons :\[\begin{align*}E_p=\frac{1}{2}kx^2+k{\ell_0}\left(\ell-\sqrt{x^2+\ell^2} \right)&=\frac{1}{2}kx^2+kl{\ell_0}\left(1-\sqrt{1+\frac{x^2}{\ell^2}} \right) \\&\simeq \frac{1}{2}kx^2+k\ell{\ell_0}\left(1-\left(1+\frac{x^2}{2\ell^2} \right) \right) \\&\simeq \frac{1}{2}k\frac{\ell-{\ell_0}}{\ell}x^2 \\\end{align*}\]et\[\begin{align*}X&=-k\left(1-\frac{\ell_0}{\sqrt{\ell^2+x^2}} \right)x \\&=-kx\left(1-\frac{\ell_0}{\ell}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{x^2}{\ell^2}}} \right) =-kx\left(1-\frac{\ell_0}{\ell}{{\left(1+\frac{x^2}{\ell^2} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right) \\&\simeq-kx\left(1-\frac{\ell_0}{\ell}\left(1-\frac{1}{2}\frac{x^2}{\ell^2} \right) \right)\simeq-kx\left(1-\frac{\ell_0}{\ell} \right)\simeq-kx\frac{\ell-\ell_0}{\ell} \\\end{align*}\]
Etudier les fonctions suivantes :
- $f(x)=x^2-2\sqrt{x}$
- $f(x)=\dfrac{x^2-3x+5}{1-x}$ (on déterminera trois réels a, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{1-x}$ et on étudiera les asymptotes éventuelles).
- $f(x)=\sqrt{x^2+3x-2}$ (on montrera que la courbe $C_f$ admet la droite $D$ d’équation $y=x+\dfrac{3}{2}$ pour asymptote).
- $f(x)=\e^{-x^2/2}$
- $f(x)=\dfrac{\e^x+1}{e^x-1}$
- $f(x)=\dfrac{x}{1+\e^{-x}}$
- $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
- $f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}+x-1$. On montrera que $x^3-2\ln x +1\gt 0$ sur ${]0,+\infty[}$.