Exercice
Déterminer le (ou les) intervalles sur lesquels la fonction est dérivable, et calculer sa dérivée :
- $f(x)=3x\cdot\sin x$
- $f(x)=\dfrac{x}{1+\sqrt{x}}$
- $f(x)={\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)}^5$
- $f(x)=x^3{\left(x+\sqrt{x}\right)}^3$
- $f(x)=\sqrt{x^2-3x+5}$
- $f(x)=\cos(\cos x)$
- $f(x)=\sqrt{\sin\left(\dfrac{1}{2+x^2}\right)}$
- $f(x)=\sqrt{1+\sqrt{x}}$
Voir la solution
- $f$ est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in \R,\;f'(x)=3\sin(x)+3x\cos(x)$
- $f$ est dérivable sur $\R^{*+}$ et $\forall x\in \R*+,\;f'(x)=\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}}{2{\left(1+\sqrt{x}\right)}^2}$
- $f$ est dérivable sur $\R^{*+}$ et $\forall x\in \R*+,\;f'(x)=-\dfrac{5}{2}x^{-7/2}$
- $f$ est dérivable sur $\R^{*+}$ et $\forall x\in \R*+,\;f'(x)=\dfrac{3}{2}x^{5/2}{\left(x+\sqrt{x}\right)}^2\left(4\sqrt{x}+3\right)$
- $f$ est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in \R,\;f'(x)=\dfrac{2x+3}{2\sqrt{x^2-3x+5}}$
- $f$ est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in \R,\;f'(x)=\sin(\cos x)\sin(x)$
- $f$ est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in \R,\;f'(x)=-\dfrac{x\cdot\cos\left(\dfrac{1}{2+x^2}\right)}{\sqrt{\sin\left(\dfrac{1}{2+x^2}\right)}{\bigl(2+x^2\bigr)}^2}$
- $f$ est dérivable sur $\R^{*+}$ et $\forall x\in \R*+,\;f'(x)=\dfrac{1}{4\sqrt{x}\cdot\sqrt{1+\sqrt{x}}}$
Exercice
Vérifier que l’ensemble de définition de $f$ est un intervalle ou une réunion d’intervalles, et étudier les variations de $f$ sur cet ensemble :
- $f(x)=x^3{(1-x)}^3$
- $f(x)=x+\sin x$
Voir la solution
- $f$ est définie et dérivable sur $\R$, et\[\forall x\in \R,\;f'(x)=-6x^5+15x^4-12x^3+3x^2=-3x^2(2x-1)(x-1)^2.\]Nous en déduisons le tableau de variations suivant :\[\begin{array}{|c|lcccccccr|}\hlinex & -\infty & & 0 & & 1/2 & & 1 & & +\infty \\\hlinef′(x) & & + & 0 & + & 0 & – & 0 & – \\\hlinef(x) & & \quad\nearrow\quad & & \quad\nearrow\quad & & \quad\searrow\quad & & \quad\searrow\quad \\\hline\end{array}\]
- $f$ est définie sur $\R$, est impaire et périodique de période $2\pi$.
Pour connaître $f$, il suffit donc de l’étudier sur l’intervalle $I=[0,\pi]$.
$f$ est dérivable sur $I$ (et même sur $\R$) et\[\forall x\in I,\;f'(x)=1+\cos(x).\]Nous en déduisons le tableau de variations suivant :\[\begin{array}{|c|lcr|}\hlinex & 0 & & \pi \\\hlinef'(x) & & + \\\hlinef(x) & & \quad\nearrow\quad \\\hline\end{array}\]