Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$ et $g$ une fonction dérivable en $f(x_0)$.
Étudions si $g\circ f$ est dérivable en $x_0$. Nous avons 2 méthodes (chacune d’elle découlant d’une des 2 définitions équivalentes de la dérivée).
Puisque $f$ est dérivable en $x_0$, il existe un intervalle $I$ contenant $0$ tel que :\[\begin{equation}\forall h\in I,\;f(x_0+h)=f(x_0)+hf'(x_0)+h\alpha(h),\label{eq:met1-1}\end{equation}\]$\alpha$ étant une fonction telle que $\lim_{h\to 0}\alpha(h)=0$.
Puisque $g$ est dérivable en $f(x_0)$, il existe un intervalle $J$ contenant $0$ tel que :\[\begin{equation}\forall k\in J,\;g[f(x_0)+k]=g[f(x_0)]+kg’\bigl[f(x_0)\bigr]+k\beta(k),\label{eq:met1-2}\end{equation}\]$\beta$ étant une fonction telle que $\lim_{k\to 0}\beta(k)=0$.
D’après $\eqref{eq:met1-1}$, on peut poser $f(x_0+h)=f(x_0)+k$ avec $k=hf'(x_0)+h\alpha(h)$.
L’égalité $\eqref{eq:met1-2}$ peut alors s’écrire au voisinage de $h=0$ :\[\begin{align}g\bigl[f(x_0+h)\bigr]&=g\bigl[f(x_0)\bigr]+\bigl[hf'(x_0)+h\alpha(h)\bigr]g’\bigl[f(x_0)\bigr]+h\gamma(h) \nonumber \\&=g\bigl[f(x_0)\bigr]+hf'(x_0)\times g’\bigl[f(x_0)\bigr]+h\epsilon(h) \nonumber \\&=g\circ f(x_0)+h\bigl[g’\circ f(x_0)\times f'(x_0)\bigr]+h\epsilon(h) \label{eq:met1-3}\\\end{align}\]où $\gamma$ et $\epsilon$ sont des fonctions de $h$ de limite $0$ quand $h$ tend vers $0$.
Le développement limité $\eqref{eq:met1-3}$ nous montre que $g\circ f$ est dérivable en $x_0$, le nombre dérivé étant\[g’\circ f(x_0)\times f'(x_0).\]
\[\begin{align*}\lim_{x\to x_0}\frac{(g\circ f)(x)-(g\circ f)(x_0)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0}\frac{g\bigl(f(x)\bigr)-g\bigl(f(x_0)\bigr)}{x-x_0} \\&=\lim_{x\to x_0}\frac{g\bigl(f(x)\bigr)-g\bigl(f(x_0)\bigr)}{f(x)-f(x_0)}\cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\&=\lim_{x\to x_0}\frac{g\bigl(f(x)\bigr)-g\bigl(f(x_0)\bigr)}{f(x)-f(x_0)}\cdot\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\end{align*}\]Pour le calcul de $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{g\bigl(f(x)\bigr)-g\bigl(f(x_0)\bigr)}{f(x)-f(x_0)}$, posons $u=f(x)$.
$f$ étant dérivable en $x_0$, nous en déduisons que $f$ est continue en $x_0$. Donc, $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.
Nous obtenons ainsi :\[\lim_{x\to x_0}\frac{g\bigl(f(x)\bigr)-g\bigl(f(x_0)\bigr)}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{u\to f(x_0)}\frac{g(u)-g\bigl(f(x_0)\bigr)}{u-f(x_0)}.\]Nous reconnaissons la limite du taux de variation de $g$ en $f(x_0)$.Donc, comme $g$ est dérivable en $f(x_0)$ :\[\lim_{x\to x_0}\frac{g\bigl(f(x)\bigr)-g\bigl(f(x_0)\bigr)}{f(x)-f(x_0)}=g’\bigl(f(x_0)\bigr).\]Pour le calcul de $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, nous reconnaissons la limite du taux de variation de $f$ en $x_0$.
Comme $f$ est dérivable en $x_0$ :\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0).\]Ainsi, nous obtenons :\[\begin{align*}\lim_{x\to x_0}\frac{(g\circ f)(x)-(g\circ f)(x_0)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0}\frac{g\bigl(f(x)\bigr)-g\bigl(f(x_0)\bigr)}{f(x)-f(x_0)}\cdot\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\&=g’\bigl(f(x_0)\bigr)\cdot f'(x_0).\end{align*}\]
D’après ces deux méthodes, nous pouvons énoncés les théorèmes suivants.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant le réel $x_0$, et $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ contenant $y_0=f(x_0)$.
Si $f$ est dérivable en $x_0$ et si $g$ est dérivable en $y_0$, alors la fonction $g\circ f$ est dérivable en $x_0$ et on a :\[(g\circ f)'(x_0)=f'(x_0)\times g'(y_0)=f'(x_0)\times g’\bigl(f(x_0)\bigr).\]
Si $x_0$ décrit un intervalle, on peut conclure :
Si $f$ est dérivable sur un intervalle et si $g$ est dérivable sur l’image par $f$ de cet intervalle, alors $g\circ f$ est dérivable sur le même intervalle que $f$ et on a :\[(g\circ f)’=(g’\circ f)\times f’.\]
« Si une fonction $u$ s’annule en un réel $a$, alors $\sqrt{u}$ n’est pas dérivable » est une assertion fausse. Il suffit de considérer la fonction $u:x\mapsto (x-a)^4$.
Soient $f:x\mapsto ax+b$ définie sur $\R$ et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ image par $f$ d’un intervalle $I$.\[\forall x\in I,\;\bigl[g(ax+b)\bigr]’=ag'(ax+b)\]
Calcul de la dérivée de la fonction $\phi:x\mapsto\cos(x)$.
Nous avons $\phi(x)=\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ avec $f(x)=x+\frac{\pi}{2}$ et $g(x)=\sin(x)$.
$f$ est dérivable de $\R$ sur $\R$ et $g$ est dérivable de $\R$ sur $\R$.\[\underset{\xrightarrow[\phi]{}}{\R\overset{f}{\to}\,\R\overset{g}{\to}\,\R}\]$\phi$ est donc dérivable sur $\R$ et $\forall x\in\R,\; \phi'(x)=g’\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin(x)$.
Nous avons donc : $\phi:x\mapsto \cos(x)$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, on a :\[\bigl(\cos(x)\bigr)’=-\sin(x).\]
Soit $f$ une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle $I$.\[\bigl(ln|f|\bigr)’=\frac{f’}{f}.\]
Pour la fonction $f$ définie par $\phi(x)=x^n$ avec $n\le-1$ et $x_0$ un réel non nul.
Nous avons $\phi(x)=\dfrac{1}{x^{-n}}$ avec $(-n)\ge 1$. Ainsi, $\phi$ est la fonction composée de $f$ définie par x$\mapsto x^{-n}$ avec $(-n)\ge $1 et de $g$ définie par $g(x)=\dfrac{1}{x}$.
$f$ est dérivable de $\R^{*+}$ sur $\R^{*+}$ et $g$ est dérivable de $\R^{*+}$ sur $\R^{*+}$. \[\underset{\xrightarrow[\phi]{}}{\R\overset{f}{\to}\,\R^{*+}\overset{g}{\to}\,\R^{*+}}\] $\phi$ est donc dérivable sur $\R^{*+}$ et on a : \[\forall x\in\R^{*+},\;\phi'(x)=-\frac{1}{{\left(x^{-n}\right)}^2}\times\left(x^{-n}\right)’=-\frac{-nx^{n-1}}{x^{-2n}}=nx^{n-1}.\]
La démarche est la même pour la dérivabilité de $\R^{*-}$ sur $\R^{*-}$.
Nous avons donc $\phi(x)=x^n$ avec $n\le-1$ est dérivable sur $\R^{*}$ et pour tout réel non nul $x$, on a :\[(xn)’=nx^{n-1}.\]
Pour la fonction $f$ définie par : $\phi(x)=x^k$ ($k\notin\Z$) et $x_0$ un réel strictement positif.
Nous avons $\phi(x)=\e^{k\cdot\ln(x)}$. Ainsi, $\phi$ est la fonction composée de $f$ définie par $x\mapsto k\cdot \ln(x)$ et de $g$ définie par $g(x)=\exp(x)=\e^x$. $f$ est dérivable de $\R^{*+}$ sur $\R$ et $g$ est dérivable de $\R$ sur $\R$.\[\underset{\xrightarrow[\phi]{}}{\R^{*+}\overset{f}{\to}\,\R\overset{g}{\to}\,\R}\]$\phi$ est donc dérivable sur $\R^{*+}$ et on a :\[\forall x\in\R^{*+},\;\phi'(x)=\bigl(k\cdot ln(x)\bigr)’\times \e^{k\cdot\ln(x)}=k\frac{1}{x}x^k=kx^{k-1}.\]Nous avons donc& $\phi(x)=x^k$ ($k\notin\Z$) est dérivable sur $\R^{*+}$ et pour tout réel $x$, on a :\[(x^k)’=kx^{k-1}.\]