Chapitre 16Espaces vectoriels

1. Montrons que toute famille libre de $E$ possède au plus $n$ éléments.
   Soit $\mathscr{F}$ une famille libre composée de $p$ vecteurs et considérons $F=\Vect(\mathscr{F})$.
   $\mathscr{F}$ est une famille libre et génératrice de $F$, donc il s’agit d’une base de $F$. Ainsi, $\Dim(F)=p$.Or, $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ d’où $\Dim(F)\le\Dim(E)$, c’est-à-dire $p\le n$.
2. Montrons que toute famille génératrice de $E$ possède au moins $n$ éléments.
   Soit $\mathscr{F}$ une famille génératrice. Nous pouvons extraire de cette famille une famille libre et génératrice, c’est-à-dire une base. Cette base est alors composée de $n$ éléments. Donc, le nombre de vecteurs de $\mathscr{F}$ est supérieur à $n$.
3. Montrons que toute famille libre de $E$ à $n$ éléments est une base de $E$.
   Soit $\mathscr{F}$ une famille libre composée de $n$ vecteurs. Soit $v$ un vecteur de $E$. Montrons que $v$ est une combinaison linéaire de vecteurs de $\mathscr{F}$ en raisonnant par l’absurde. Si $v$ n’est pas une combinaison linéaire de vecteurs de $\mathscr{F}$, alors nous pouvons montrer que la famille $\mathscr{F}\bigcup \{v\}$ est libre. Or, cette famille a $(n+1)$ éléments. D’après le point n°1 du théorème, il s’agit d’une famille liée. D’où le résultat.
4. Montrons que toute famille génératrice de $E$ à $n$ éléments est une base de $E$.
   Soit $\mathscr{F}$ une famille génératrice composée de $n$ vecteurs. Nous pouvons extraire de cette famille une famille libre et génératrice, c’est-à-dire une base. Cette base est alors composée de $n$ éléments.Donc, cette famille extraite est égale à $\mathscr{F}$ et ainsi $\mathscr{F}$ est une base.

Soit $u$ un vecteur de $E$. Comme $B$ est une base, $B$ est une famille génératrice. Donc\[\exists (x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{K}^n \vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ie_i.\tag{1}\label{eq:thd1-1}\]

Montrons l’unicité. Soit\[(y_1,\ldots,y_n)\in \mathbb{K}^n \vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}{y_ie_i}.\tag{2}\label{eq:thd1-2}\]En effectuant la différence des égalités $\eqref{eq:thd1-1}$ et $\eqref{eq:thd1-2}$, nous obtenons\[\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-y_i)e_i}=0_E.\tag{3}\label{eq:thd1-3}\]Comme $B$ est une base, $B$ est une famille libre. Nous déduisons alors grâce à l’égalité $\eqref{eq:thd1-3}$ que $\forall i=1,\ldots,n,\ x_i=y_i$. L’unicité est ainsi démontrée.

Soit $S=\{u_1,\ldots,u_p\}$ une famille libre de $p$ vecteurs $(p\le n)$.

• Si $p=n$ :$S$ est une famille libre de $n$ vecteurs. Donc, $S$ est une base. Nous avons ainsi « complété » $S$ avec $(n-n)=0$ vecteur pour obtenir une base.
• Si $p\lt n$ :Soit $F=\Vect(S)$. $S$ est une famille libre et génératrice de $F$, donc il s’agit d’une base de ce sous-espace vectoriel. D’où $\Dim(F)\lt\Dim(E)$. Ainsi, $F$ est strictement inclus dans $E$.

Soit $v_1$ un vecteur appartenant à $E$ et n’appartenant pas à $F$. Posons $S_1= S\bigcup v_1$.
Montrons que la famille $S_1$ est libre.

$\sum\limits_{i=1}^{p}\alpha_iu_i+\beta_1v_1=0_E\tag{1}\label{eq:th2-1}$

• 1er cas : $\beta_1=0$.
  Alors $\eqref{eq:th2-1}\implies \sum\limits_{i=1}^{p}\alpha_iu_i=0_E$.Or, comme la famille $S$ est libre, nous en déduisons que $\forall i=1,\ldots,p,\ \alpha_i=0$ et ainsi la famille $S_1$ est libre.
• 2ème cas : ${\beta_1}\ne 0$.
  Alors, $\eqref{eq:th2-1}\implies v_1=-\frac1{\beta_1}\sum\limits_{i=1}^{p}\alpha_iu_i$ et donc $v_1$ est élément de $F$ comme combinaison linéaire de vecteur de $F$, ce qui contredit l’hypothèse « $v_1$ est un vecteur appartenant à $E$ et n’appartenant pas à $F$ ».

Nous avons donc montré que $S_1$ est libre. $S_1$ a $(p+1)$ vecteurs. Nous réitérons cette opérations jusqu’à obtenir une famille libre de $n$ vecteurs. Cette famille sera alors une base de $E$. Nous aurons alors complété la famille $S$ avec $(n-p)$ vecteurs. D’où le résultat.

1. Si $F\bigcap G=\{0_E\}$.

   Soit ${(f_i)}_{i=1,\ldots,n}$ une base de $F$ et ${(g_j)}_{j=1,\ldots,m}$ une base de $G$. Alors :\[F+G=\Vect(\{f_1,\ldots,f_n,g_1,\ldots,g_m\}).\]

   Montrons que $\{f_1,\ldots,f_n,g_1,\ldots,g_m\}$ est une famille libre.
   $\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _if_i+\sum\limits_{i=1}^m\beta _ig_i=0_E\implies \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _if_i=-\sum\limits_{i=1}^{m}\beta _ig_i\in F\bigcap G$.
   Donc, $\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _if_i=-\sum\limits_{i=1}^{m}\beta _ig_i=0_E$.
   On en déduit que pour $i=1,\ldots,n, \alpha_i=0$ et pour $i=1,\ldots,m, \beta_i=0$.
   D’où le résultat.

2. Si $F\bigcap G\ne \{0_E\}$.

   Soit ${(e_i)}_{i=1,\ldots,n}$ une base de $F\bigcap G$, complétéeVoir le Théorème de la base incomplète. en une base $(e_1,\ldots,e_n,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_q)$ de $F$ et $(e_1,\ldots,e_n,\nu_1,\ldots,\nu_p)$ de $G$. Soit $H$ le sous-espace vectoriel de $E$ de base $(\nu_1,\ldots,\nu_p)$. Montrons que $F\bigcap H=\{0_E\}$ (afin d’utiliser le point n°1).

   Soit $u$ élément de $F\bigcap H$.\[\exists (\alpha _i)_{i=1,\ldots,n}\in \mathbb{K}^n,\ \exists (\beta _i)_{i=1,\ldots,q}\in \mathbb{K}^q\vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _ie_i+\sum\limits_{i=1}^{q}\beta _i\varepsilon _i\tag{1}\label{eq:th3-1}\]et\[\exists (\gamma _i)_{i=1,\ldots,p}\vert u=\sum\limits_{i=1}^{p}\gamma _i\nu _i.\tag{2}\label{eq:th3-2}\]Donc, $u$ est élément de $G$ (comme combinaison linéaire d’éléments de $G$ par exemple) et de $F$. Donc,\[\exists (\lambda _i)_{i=1,\ldots,n}\in \mathbb{K}^n\vert u=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda _ie_i.\tag{3}\label{eq:th3-3}\]En égalisant $\eqref{eq:th3-1}$ et $\eqref{eq:th3-3}$, on en déduit : $\sum\limits_{i=1}^{n}(\alpha _i-\lambda _i)e_i+\sum\limits_{i=1}^{q}\beta _i\varepsilon _i=0_E$.
   Comme $(e_1,\ldots,e_n,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_q)$ est une base de $F$ (donc libre), on a $\forall i=1,\ldots,q,\ \beta_i=0$.
   $\eqref{eq:th3-1}$ devient :\[u=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _ie_i.\tag{4}\label{eq:th3-4}\]En égalisant $\eqref{eq:th3-4}$ et $\eqref{eq:th3-2}$, on en déduit $\sum\limits_{i=1}^{p}\gamma _i\nu _i-\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _ie_i=0_E$. Comme $(e_1,\ldots,e_n,\nu_1,\ldots,\nu_p)$ est une base de $G$ (donc libre), on a pour tout $i=1,\ldots,n,\ \alpha_i=0$ et pour tout $i=1,\ldots,p, \gamma_i=0$. Donc, $u=0_E$.

   On obtient donc $\Dim(F+H)=\Dim(F)+\Dim(H)$. Or, $F+H=F+G$ (famille génératrice égale). Donc :\[\eqalign{\Dim(F+G)&=n+q+p=(n+q)+(p+n)-n\cr&=\Dim(F)+\Dim(G)–\Dim(F\bigcap G)}\]D’où le résultat.

Montrons que les propriétés 1 et 2 sont équivalentes.

• Supposons $E=F\oplus G$.
  Nous avons donc $E=F+G$ et $F\bigcap G=\{0_E\}$. Appliquons la formule de Grasmann : $\Dim(F+G)=\Dim(F)+\Dim(G)–\Dim(F\bigcap G)$. Or, $F\bigcap G=\{0_E\}$ et donc $\Dim(F\bigcap G)=0$.Nous obtenons $\Dim(F+G)=\Dim(F)+\Dim(G)$.
  La propriété 2 est ainsi démontrée.
• Supposons $E=F+G$ et $\Dim(E)=\Dim(F)+\Dim(G)$.
  Pour obtenir la propriété 1, il suffit de montrer que $F\bigcap G=\{0_E\}$. Appliquons la formule de Grasmann : $\Dim(F+G)=\Dim(F)+\Dim(G)–\Dim(F\bigcap G)$. Nous en déduisons que $\Dim(F\bigcap G)=0$ et donc $F\bigcap G=\{0_E\}$.
  Nous avons ainsi démontré l’équivalence entre les propriétés 1 et 2.

La démonstration de l’équivalence des propriétés 1 et 3 s’obtient de manière similaire (grâce à la formule de Grasmann). D’où le résultat.