En connaissant la densité du matériau et son volume, on détermine sa masse en multipliant ces deux grandeurs. Dans les cas où la matière n’a pas une densité constante, afin d’obtenir un meilleur résultat, on divise la plaque en plusieurs éléments de volume et on calcule leurs masses individuelles, puis on les ajoute. Pour optimiser ce résultat, ces éléments de volume doivent être les plus petits possible.\[m=\sum_{i=1}^n \rho_i\cdot V_i.\]En connaissant la fonction $\rho(x,y,z)$ qui détermine la densité du matériau, on calcule sa masse par intégration. La région intégrée aura les mêmes dimensions géométriques de la plaque.
Donc :\[m=\iiint\limits_R{\rho(x,y,z)\,\mathrm dV}.\]
Le moment de masse d’un solide par rapport à un plan équivaut au moment résultant de la masse elle-même du solide. En divisant le solide en plusieurs éléments de volume, le moment de masse de chaque élément est donné par le produit de la masse de l’élément par sa distance par rapport au plan de référence :\[M_{xy}=\sum_{i=1}^n z_i\cdot m_i.\]Lorsque la masse du solide n’est pas uniformément répartie, mais que la fonction $\rho(x,y,z)$ exprimant sa densité en chaque point est connue, on détermine sa densité en chaque point et on calcule la masse de chaque élément par le produit entre la densité et le volume. Si les volumes des éléments tendent vers zéro, on aboutit à l’expression :\[M_{xy}=\iint_R z\cdot \rho(x,y,z)\,\mathrm dV\]De façon analogue:\[M_{xz}=\iint_R y\cdot \rho(x,y,z)\,\mathrm dV\]\[M_{yz}=\iint_R x\cdot \rho(x,y,z)\,\mathrm dV\]Le moment de masse est un outil important pour la détermination du centre de masse de l’objet.
Le centre de masse d’un corps peut être vu comme la région, ou plus précisément le point où la masse est concentrée, ou alors le point d’application du poids.
Pour calculer le centre de masse d’un solide par rapport à un plan de coordonnées, on calcule en premier son moment de masse, ensuite on divise cette valeur par sa masse totale. C’est-à-dire qu’on le divise en plusieurs sections et on fait la somme du produit de la masse de chaque section par sa coordonnée :\[\bar x=\frac{\sum_{i=1}^n (m_i\cdot x_i)}m,\ \bar y=\frac{\sum_{i=1}^n (m_i\cdot y_i)}m\ \text{et}\ \bar z=\frac{\sum_{i=1}^n (m_i\cdot z_i)}m.\]Pour un matériau de densité constante, le centre de masse coïncide avec le centre géométrique, mais lorsque le solide n’est pas homogène, le calcul est effectué par une intégration, la masse étant le produit de la densité par le volume. Le centre de masse est donné par :\[\bar x=\dfrac{\iiint_R x\cdot \rho(x,y,z)\,\mathrm dV}{\iiint_R \rho(x,y,z)\,\mathrm dV},\ \bar y=\dfrac{\iiint_R y\cdot \rho(x,y,z)\,\mathrm dV}{\iiint_R \rho(x,y,z)\,\mathrm dV}\ \text{et}\ \bar z=\dfrac{\iiint_R z\cdot \rho(x,y,z)\,\mathrm dV}{\iiint_R \rho(x,y,z)\,\mathrm dV}.\]
Un solide en forme de cône et de demi-sphère est décrit par les équations $z^2=x^2+y^2$ et $x^2+y^2+z^2=1$ et possède une densité variable suivant l’équation $\delta(x,y,z)=z(x^2+y^2)$ en $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$.
Calculer sa masse et son centre de masse.
\[\begin{align*}m&=\iint_V \delta(x,y,z)\,\mathrm dV=\int\limits_{-1⁄2}^{1⁄2}\int\limits_{-\sqrt{1/2-x^2}}^{\sqrt{1/2-x^2}}\int\limits_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} z (x^2+y^2)\,\mathrm dz\,\mathrm dy\,\mathrm dx \\&=\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt 2/2} r^4\cos\phi\sin^2\phi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi=\dfrac{\pi}{120}\ \mathrm{kg}.\end{align*}\]
\[\begin{align*}x&=\frac{\iiint_V x\cdot \delta(x,y,z)\,\mathrm dV}{\iiint_V \delta(x,y,z)\,\mathrm dV}=\frac{\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt 2/2} r^5\cos\phi\cos\theta\sin^3 \phi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi}{\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2/2} r^4\cos\phi\sin^2 \phi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi} \\&=\frac{0}{\frac{\pi}{120}}=0\end{align*}\]
\[\begin{align*}y&=\frac{\iiint_V y\cdot \delta(x,y,z)\,\mathrm dV}{\iiint_V \delta(x,y,z)\,\mathrm dV}=\frac{\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt 2/2} r^5\cos\phi\sin\theta\sin^3 \phi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi}{\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2/2} r^4\cos\phi\sin^2\phi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi} \\&=\frac{0}{\frac{\pi}{120}}=0\end{align*}\]
\[\begin{align*}z&=\frac{\iiint_V z\cdot \delta(x,y,z)\,\mathrm dV}{\iiint_V \delta(x,y,z)\,\mathrm dV}=\frac{\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt 2/2} r^5\cos^2\phi\sin^2 \phi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta \,\mathrm d\phi}{\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2/2} r^4\cos\phi\sin^2 \phi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta \,\mathrm d\phi} \\&=\frac{\frac{\pi^2}{768}}{\frac{\pi}{120}}=\frac{5\pi}{32}\ \mathrm{m}.\end{align*}\]
Le moment d’inertie peut être vu comme une grandeur physique qui mesure la difficulté de faire tourner un corps autour d’un axe. Plus la masse est concentrée près de l’axe de référence, plus il sera difficile de tourner le solide autour de cet axe.En suivant le même raisonnement pour le moment d’inertie des surfaces plates, le moment d’inertie d’une particule qui tourne à une distance $R$ de l’axe $z$ est :\[I_z=m R^2.\]Comme un solide peut être interprété comme l’union de nombreuses particules liées les unes aux autres, le moment d’inertie d’un solide qui tourne autour d’un axe de référence $z$ est donné par la somme du moment d’inertie de chaque particule qui le compose.\[I_z=\sum_{i=1}^n I_{z(i)}=\sum_{i=1}^n m_i R_i^2.\]En rendant ces répartitions de plus en plus petites, on calcule le moment d’inertie par intégration par rapport au volume d’un corps. Sachant que $R^2=x^2+y^2$ et $m=\iiint_R \rho(x,y,z)\,\mathrm dV$ on aboutit à l’expression suivante :\[I_z=\iiint_R (x^2+y^2)\cdot \rho(x,y,z)\,\mathrm dV.\]Dans les cas où la plaque tourne autour de l’axe $x$ ou $y$, le carré de la distance $R$ jusqu’à l’axe de rotation vaut, respectivement :\[R^2=y^2+z^2\quad\text{ou}\quad R^2=x^2+z^2.\]Donc :\[\begin{align*}I_x&=\iiint_R (y^2+z^2)\cdot \rho(x,y,z)\,\mathrm dV \\I_y&=\iiint_R (x^2+z^2)\cdot \rho(x,y,z)\,\mathrm dV\end{align*}\]Dans les cas où la densité du corps a une valeur constante, $\rho$ sort de l’intégrale. Si la masse totale a une valeur connue et sachant que la densité d’un corps correspond au rapport entre sa masse et son volume, les expressions deviennent :\[\begin{align*}I_x&=m\frac{\iiint_R (y^2+z^2)\,\mathrm dV}{\iiint_R\,\mathrm dV} \\I_y&=m\frac{\iiint_R (x^2+z^2)\,\mathrm dV}{\iiint_R\,\mathrm dV} \\I_z&=m\frac{\iiint_R (x^2+y^2)\,\mathrm dV}{\iiint_R\,\mathrm dV}\end{align*}\]
Calculer le moment d’inertie et le moment de masse par rapport à l’axe $z$ du solide de la figure ci-dessous, sachant que sa densité, exprimée en $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$ varie selon l’équation $\delta(x,y,z)=x\cdot y$.
\[\begin{align*}I_z&=\iiint\limits_V (x^2+y^2)\cdot \delta(x,y,z)\,\mathrm dV \\&=\int_0^6\int_0^2\int_0^{1-x⁄2} x\cdot y\cdot (x^2+y^2)\,\mathrm dy\,\mathrm dx\,\mathrm dz \\&=1\ \mathrm{kg}\times \mathrm{m}^2.\end{align*}\]
\[\begin{align*}M&=\iiint\limits_V z\cdot \delta(x,y,z)\,\mathrm dV \\&=\int_0^6\int_0^2\int_0^{1-x⁄2} x\cdot y\cdot z\,\mathrm dy\,\mathrm dx\,\mathrm dz \\&=3\ \mathrm{kg}\times\mathrm{m}.\end{align*}\]
Calculer le moment d’inertie du cylindre de dimensions indiquées dans la figure et qui tourne autour de l’axe $z$, sachant que sa densité est constante et vaut $3\mathrm{g}/\mathrm {cm}^3$.
\[\begin{align*}I_z&=\iiint\limits_V (x^2+y^2)\cdot \delta(x,y,z)\,\mathrm dV \\&=\int_0^{20}\int_{-5}^5\int_{-\sqrt{25-y^2}}^{\sqrt{25-y^2}} 3(x^2+y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz \\&=\int_0^{20}\int_0^{2\pi}\int_0^5 3r^3\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta \,\mathrm dz \\&=18\,750\pi\ \mathrm{g}\times\mathrm{cm}^2.\end{align*}\]