Quelques grandeurs qui peuvent être déterminées à partir d’une double intégration sont listées ci-dessous.
En connaissant la densité surfacique du matériau et sa surface totale, il est facile de calculer sa masse. Il suffit de multiplier ces deux grandeurs connues. Toutefois, dans certains cas, le matériau n’a pas une densité uniforme, c’est-à-dire sa densité varie pour chaque point de la plaque.
Par conséquent, afin d’obtenir un résultat le plus proche de la valeur réelle, l’idéal serait de diviser la plaque en plusieurs éléments de surface, calculer leurs masses individuelles et puis les additionner. Plus les éléments sont petits, meilleur est le résultat.\[m=\sum_{i=1}^n\rho_i\cdot A_i.\]En connaissant la fonction $\rho(x,y)$ qui détermine la densité du matériau en chaque point de la plaque, il est plus efficace de calculer sa masse par intégration. L’aire d’intégration serait la forme géométrique de la plaque.
Donc :\[m=\iint_R \rho(x,y)\,\mathrm d_A.\]
En raisonnant de la même façon que pour le « calcul de la masse d’une planche ou d’une plaque », pour le calcul d’une force résultante il suffit de multiplier la charge superficielle à laquelle le matériel est soumis par l’aire d’application de la charge. Mais dans certains cas, par exemple dans un réservoir d’eau, la charge appliquée sur une surface varie en fonction du point d’application.
Dans ce cas on peut toujours résoudre le problème en calculant une intégrale : on somme les forces appliquées sur chaque point infinitésimal à partir de l’intégration de la fonction pression ou chargement $\rho(x,y)$ sur l’aire d’application de la charge.
Donc :\[F=\iint_R \rho(x,y)\,\mathrm d_A.\]
Une digue en forme de « U » doit arrêter l’eau qui coule dans une rivière.
Sachant que l’équation décrivant la section transversale de la rivière est $h=l^2$, calculer la force résultante de l’eau sur la digue.
La densité de l’eau est de $\rho=1000\mathrm{Kg}/\mathrm{m}^3$ et l’accélération gravitationnelle est de $g=10\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$.
\[F=\iint_R \rho \cdot g\cdot h\,\mathrm dh\,\mathrm dl\]\[F=\int_{10}^{-10}\int_0^{100} 1000\times 10 h\,\mathrm dh\,\mathrm dl=8\times 10^8\mathrm N.\]
Sur une surface circulaire de $1\mathrm m$ de diamètre, on place une charge distribuée non-uniformément, dont la densité, exprimée en $\mathrm{N}/\mathrm {m}^2$, varie selon l’expression $\delta(x,y)=-3000(x^2+y^2)^{1/2}+3000$.
Calculer la force résultante sur la plaque.
\[F=\iint_R \delta(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\]\[\begin{align*}\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \delta(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy&=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \delta(r,\theta)\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta \\&=\int_0^{2\pi} \int_0^1 (-3000 r^2+3000 r)\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta \\&=1500\pi\simeq 4712{,}389\mathrm N.\end{align*}\]
La charge est distribuée sur un domaine $D$ délimité par le rectangle de sommets $(3,2)$, $(0,2)$, $(3,0)$ et $(0,0)$ de façon que la densité de charge au point $(x,y)$ soit $\delta(x,y)=x^2y$ mesurée en coulomb par mètre carré ($\mathrm C/\mathrm{m}^2$).
Déterminer la charge totale.
Ainsi :\[q=\iint\limits_{D} \delta(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint\limits_{D} x^2y\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_0^1\int_0^3 x^2 y\,\mathrm dx\,\mathrm dy=18.\]La charge totale distribuée sur $D$ est de 18 Coulombs.
Lorsqu’on fixe une plaque sur un axe de référence et qu’on lui applique une charge (force appliquée sur une surface), la charge tend à faire tourner la plaque autour de l’axe. Le moment d’une force est défini comme étant le produit de la force agissant perpendiculairement à la surface par la distance entre le point d’application de cette force et l’axe de référence.
Lorsqu’une charge est répartie sur une surface, la force agissant sur chaque point produit un moment et le moment résultant est donné par la somme de tous les moments. En divisant la surface en plusieurs sections, on multiplie la valeur de la force appliquée sur cette section par sa surface et on s’approche de plus en plus du résultat idéal. En connaissant la fonction qui décrit la charge, l’erreur tend à zéro au moyen de l’intégration.
De cette manière, $M_x=\iint_R y\cdot \rho(x,y)\,\mathrm d_A$ et $M_y=\iint_R x\cdot \rho(x,y)\,\mathrm d_A$, pour le moment de force par rapport à l’axe $x$ et $y$ respectivement.
Le moment de masse est le moment produit par la masse du corps. On en déduit que le moment de masse possède donc la même expression que précédemment, mais la fonction $\rho (x,y)$ dans ce cas là représente la densité massique du corps.
Un barrage en forme de « V » doit contenir le flux d’eau qui coule d’une rivière.
En considérant que les parois latérales forment un angle de 45° avec l’horizontale, calculer le moment de force qui doit soutenir le barrage.
La densité de l’eau est de $\rho=1000\mathrm{Kg}/\mathrm{m}^3$ et l’accélération gravitationnelle de $g=10\mathrm m/\mathrm{s}^2$.
\[M_f=\iint_R \rho\cdot g\cdot h^2\,\mathrm dh\,\mathrm dl.\]\[\begin{align*}M_f&=\int_{-50}^0\int_{-l}^{50} 1000\times 10 h^2\,\mathrm dh\,\mathrm dl+\int_0^{50}\int_l^{50} 1000\times 10 h^2\,\mathrm dh\,\mathrm dl \\&=15\,625\,000\,000+15\,625\,000\,000=31\,250\,000\,000 \mathrm N\times\mathrm m.\end{align*}\]
Le point d’application d’une force est le point du solide sur lequel toute la distribution de force est appliquée. Le centre de masse est le point du solide sur lequel se concentre la masse, ou point d’application du poids.
Pour calculer le centre de masse d’un solide par rapport à un axe de coordonnées, la procédure consiste à le diviser en plusieurs parties et à faire la somme du produit de la masse de chaque partie par sa coordonnée, c’est-à-dire calculer son moment masse. Ensuite on divise ce résultat par la masse totale du solide.\[\bar x=\frac{\sum_{i=1}^n (m_i\cdot x_i)}{m}\quad\text{et}\quad\bar y=\frac{\sum_{i=1}^n (m_i\cdot y_i)}{m}.\]
Pour un matériau homogène, c’est-à-dire de densité constante, le centre de masse coïncidera avec le centre géométrique, mais dans le cas d’un solide non homogène, le calcul s’effectuera grâce à une intégration. Pour les plaques plates, la masse est le produit de la densité surfacique par la surface et le centre de masse est donnée par :\[\bar x=\frac{\iint_R x\cdot \rho(x,y)\,\mathrm d_A}{\iint_R \rho(x,y)\,\mathrm d_A}\quad\text{et}\quad \bar y=\frac{\iint_R y\cdot \rho(x,y)\,\mathrm d_A}{\iint_R \rho(x,y)\,\mathrm d_A}.\]Pour le calcul du point d’application d’une force le raisonnement est analogue, cependant la fonction densité est la densité de charge sur la surface.
- Calculer la masse d’une lame carrée de $1\mathrm{dm}$ de largeur dont la densité surfacique en Kg varie selon l’expression $\delta(x,y)=\left(x–\dfrac 12\right)^2+\left(y–\dfrac 12\right)^2$, où $x$ et $y$ sont exprimés en décimètres.
- Déterminer pour cette lame son centre de masse.
- Calculons la masse de la lame.\[M=\iint_R \delta(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.\]\[\int_0^1\int_0^1\left((x-\frac 12)^2+(x-\frac 12)^2\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\frac 16\mathrm{Kg}.\]
- Déterminons le centre de masse de la lame.\[\begin{align*}x_C&=\frac{\iint_R x\cdot \delta(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy}{\iint_R \delta (x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy}\\&=\dfrac{\int_0^1\int_0^1 x\cdot\left((x-\frac 12)^2+(x-\frac 12)^2\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy}{\int_0^1\int_0^1 ((x-\frac 12)^2+(x-\frac 12)^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy}\\&=(1/12)/(1/6)=0{,}5\mathrm m\end{align*}\]\[\begin{align*}y_C&=\frac{\iint_R y\cdot \delta(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy}{\iint_R \delta (x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy} \\&=\frac{\int_0^1\int_0^1 y\cdot ((x-\frac 12)^2+(x-\frac 12)^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy}{\int_0^1\int_0^1 ((x-\frac 12)^2+(x-\frac 12)^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy} \\&=(1/12)/(1/6)=0{,}5\mathrm m\end{align*}\]
La densité en tout point d’une lame semi-circulaire est proportionnelle à la distance entre ce point et le centre du cercle.
Déterminer le centre de masse de la lame.
On va placer la lame dans la partie supérieure du cercle $x^2+y^2=a^2$, donc la distance entre le point et l’origine est :\[\rho(x,y)=K\sqrt{x^2+y^2},\text{ où $K$ est une constante.}\]En faisant la conversion aux coordonnées polaires, on a $\sqrt{x^2+y^2}=r$ et le domaine $D$ est $0\le r\le a$, $0\le\theta\le\pi$. La masse de la lame est donc :\[m=\iint\limits_{D} \rho(x,y)\,\mathrm d_A=\iint\limits_{D} K\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm d_A=\int_0^\pi \int_0^a (Kr)r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=\frac{k\pi a^3}3.\]Par symétrie, le centre de masse doit être sur l’axe $y$, c’est-à-dire $\bar x=0$.
La coordonnée $y$ est donnée par :\[\bar y=\dfrac 1m \iint\limits_{D} x\rho(x,y)\,\mathrm d_A=\frac{k\pi a^3}{3}\int_0^\pi\int_0^a r \sin\theta (Kr)r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=\frac{3a}{2\pi}.\]Le centre de masse est donc sur le point $\left(0,\dfrac{3a}{2\pi}\right)$.
Le moment d’inertie est une grandeur physique qui mesure la répartition de la masse d’un corps par rapport à un axe. Plus elle sera distribuée proche de l’axe, plus il sera difficile que le solide tourne autour de lui-même.
L’expression du moment d’inertie d’une particule qui tourne à une distance R d’un axe $z$ est:\[I_z=m\cdot R^2.\]
Un solide peut être considéré comme l’union de plusieurs particules. Le moment d’inertie d’un solide qui tourne autour d’un axe $z$ est donné donc par la somme du moment d’inertie de chaque particule qui le compose.\[I_z=\sum_{i=1}^n I_{z(i)}=\sum_{i=1}^n m_i\cdot R_i^2.\]
En rendant ces répartitions de plus en plus petites, on peut calculer le moment d’inertie par intégration par rapport à l’aire de la surface de la plaque.
Sachant que $R^2=x^2+y^2$ et $m=\iint_R \rho(x,y)\,\mathrm d_A$ on obtient l’expression suivante:\[I_z=\iint_R (x^2+y^2)\cdot \rho(x,y)\,\mathrm d_A.\]
Lorsque la plaque pivote autour de l’axe $x$, la distance $R$ jusqu’à l’axe de rotation est $y$ lui-même. L’inverse est vrai pour la plaque qui tourne autour de $y$.
Par conséquent on a respectivement :\[I_x=\iint_R y^2\cdot \rho(x,y)\,\mathrm d_A\quad\text{et}\quad I_y=\iint_R x^2\cdot \rho(x,y)\,\mathrm d_A.\]
Dans les cas où la densité de la plaque est constante, $\rho$ sort de l’intégration, car il a une valeur constante. Si l’on connait la masse totale, sachant que la masse est le rapport entre la densité et la surface, les expressions prennent la forme :\[\begin{align*}I_z&=m\cdot\frac{\iint_R (x^2+y^2)\,\mathrm d_A}{\iint_R\,\mathrm d_A}\\ \\I_x&=m\cdot\frac{\iint_R y^2\,\mathrm d_A}{\iint_R\,\mathrm d_A}\\ \\I_y&=m\cdot\frac{\iint_R x^2\,\mathrm d_A}{\iint_R\,\mathrm d_A}\end{align*}\]
Une porte homogène dont la densité vaut $\delta=5\mathrm{Kg}/\mathrm{m}^2$ de dimensions $1\mathrm{m}\times 2\mathrm{m}$ est représentée dans l’image ci-dessous.
Calculer le moment d’inertie par rapport aux charnières situées sur l’axe $y$.
\[M_y=\iint_R x^2\cdot \delta(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.\]\[M_y=\int_0^2\int_0^1 x^2\cdot 5\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\frac{10}{3}\simeq 0{,}333\dotsc\mathrm{Kg}\times\mathrm{m}^2\]