La notion de variation d’une fonction de la variable réelle n’est étudiée que sur un intervalle, ceci pour entre autre éviter des problèmes comme le suivant.
Soit $f$ la fonction définie de $\R^*$ sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.
On montre facilement que $f$ est strictement décroissante sur $\R^{*-}$ et sur $\R^{*+}$. A-t-on $f$ strictement décroissante sur $\R^*$ ? Non ! Pour s’en convaincre, il suffit de calculer $f(-1)$ et $f(1)$…
Le tableau de variation d’une fonction est utilisé pour résumer, pour synthétiser l’étude des variations d’une fonction.
Il est construit de la façon suivante :
- Sur la première ligne, on indique l’ensemble d’étude de la fonction.
- Sur la seconde ligne, on met éventuellement le signe de la dérivée (si l’étude des variations de la fonction a utilisé cet outil).
- Les variations de la fonction sont schématisées par des flèches montantes (pour la croissance) et descendantes (pour la décroissance).
- Les valeurs interdites (qui ne sont pas dans l’ensemble de définition) sont visualisées par des doubles traits, les valeurs particulières (extremums, …) par de simples traits.
- Nous pouvons mettre dans le tableau tout renseignement déjà obtenu sur la fonction qui permet de mieux l’étudier et obtenir son graphe. Par exemple, nous mettons les limites aux bornes de l’ensemble d’étude.
Considérons la fonction $f$ définie par $f(x)=\bigl|x\ln|x|\bigr|$.
Son tableau de variations sur $\R^{*+}$ est le suivant.\[\begin{array}{|l|lcccccr|}\hlinex & 0 & & \e^{-1} & & 1 & & +\infty \\\hlinef'(x) & & + & || & – & || & + \\f(x) & 0 & \nearrow & f(\e^{-1}) & \searrow & 0 & \nearrow & +\infty \\\hline\end{array}\]
L’étude du signe de la dérivée est décisive pour l’étude des variations. Un des premiers mathématiciens à avoir fait le lien entre les variations d’une fonction et le signe de sa dérivée est Lagrange.
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- Si la dérivée $f’$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
- Si la dérivée $f’$ est strictement positive sur $I$, sauf en un nombre fini de points où elle s’annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Si la dérivée $f’$ est strictement négative sur $I$, sauf en un nombre fini de points où elle s’annule, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Etude des variations de la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par :\[f(x)=x^3+2x^2-7x+4.\]
$f$ est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in\R,\;f'(x)=3x^2+4x-7$.
On remarque que $f'(1)=f’\left(-\dfrac{7}{3}\right)=0$. De plus, $f\left(-\dfrac{7}{3} \right)=\dfrac{206}{27}$ et $f(1)=0$.
D’autre part, $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}x^3=-\infty $ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}x^3=+\infty$.
On en déduit le signe de $f'(x)$ et donc le tableau de variation de la fonction $f$ :\[\begin{array}{|l|lcccccr|}\hlinex & -\infty & & -7/3 & & 1 & & +\infty \\\hlinef'(x) & & + & 0 & – & 0 & + \\f(x) & -\infty & \nearrow & \dfrac{206}{27} & \searrow & 0 & \nearrow & +\infty \\\hline\end{array}\]
Etude de la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x)=\bigl|x\ln|x|\bigr|$.
Remarquons tout d’abord que $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0$, on peut donc prolonger $f$ par continuité sur $\R$ en posant $f(0)=0$.La fonction $f$ est paire, on peut donc restreindre l’étude à $\R^{*+}$.$f$ est dérivable sur $\R^{*+}\setminus\{1\}$.
- Dérivabilité de $f$ en $0$ :
\[\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{\bigl|x\ln|x|\bigr|}{x}.\]Donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=\lim_{x\to 0^+}\bigl| \ln|x|\bigr|=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}x=\lim_{x\to 0^-}-\bigl|\ln|x|\bigr|=-\infty$.
On en déduit que $f$ n’est pas dérivable en $0$. Par contre, le graphe $C_f$ de $f$, admet des demi-tangentes verticales à droite et à gauche au point d’abscisse $0$.- Dérivabilité de $f$ en 1 :
\[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{\big|x\ln x\bigr|}{x-1}.\]On rappelle que $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{\ln(x)}=1$, donc on a $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{x\ln x}{x-1}=1$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}-\frac{x\ln x}{x-1}=-1$.
On en déduit que $f$ n’est pas dérivable en $1$. Par contre, $C_f$ admet des demi-tangentes de pente respective $-1$ et $1$ à droite et à gauche au point d’abscisse $1$.Sur $\R^{*+}\setminus\{1\}$, $f$ est dérivable et on a $f(x)=\begin{cases}-x\ln x&\text{si $x\in{]0,1[}$} \\\hphantom{-}x\ln x&\text{si $x\in {]1,+\infty[}$}\end{cases}$.
On en déduit que $f'(x)=\begin{cases}-(\ln{x}+1)&\text{si $x\in{]0,1[}$} \\\hphantom{-}(\ln{x}+1)&\text{si $x\in {]1,+\infty[}$}\end{cases}$.
- Pour $x\in {]1,+\infty[}$, on a $(\ln{x}+1)\ge 0$ donc $f'(x)\ge 0$.
- Pour $x\in {]0,1[}$, $(\ln{x}+1)\ge 0\iff \ln(x)\ge {-1}\iff x\ge \e^{-1}$.
On peut donc tracer le tableau de variations de $f$ sur $\R^{*+}$ :\[\begin{array}{|l|lcccccr|}\hlinex & 0 & & \e^{-1} & & 1 & & +\infty \\\hlinef'(x) & & + & || & – & || & + \\f(x) & 0 & \nearrow & f(\e^{-1}) & \searrow & 0 & \nearrow & +\infty \\\hline\end{array}\]À l’aide de la parité on en déduit le tableau de variations de $f$ sur $\R$.