Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un réel de $I$.
On dit que $f(x_0)$ est un minimum local (respectivement maximum local) de la fonction $f$ sur $I$ lorsque $f(x_0)$ est la plus petite valeur (respectivement la plus grande valeur de $f$) sur un intervalle ouvert contenu dans $I$ et contenant $x_0$. Dans ce cas, on dit que $f$ admet un minimum local (respectivement maximum local) en $x_0$
Pour la recherche d’extremum, nous avons 2 théorèmes qui vont nous aider. L’un donne une condition nécessaire d’extremum, lors une condition suffisante. Ces 2 théorèmes sont admis.
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$.
Si $f$ admet un extremum local en un point $x_0$ de $I$, alors $f'(x_0)=0$.
Réciproque fausse avec par exemple $f(x)=x^3$ en $0$.
Ce théorème nous donne, dans le cas d’une fonction dérivable sur un intervalle ouvert, les « candidats » pour les extremums : les extremums sont obtenus en $x$ élément de l’ensemble des solutions de l’équation $f'(x)=0$.
Ainsi :
- Les extremums locaux d’une fonction dérivable sur un intervalle ouvert sont à chercher parmi les zéros de la dérivée, mais la réciproque est fausse ;
- En tout point de la courbe $C_f$ correspondant à un extremum local sur un intervalle ouvert (avec $f$ dérivable sur cet intervalle), la tangente est horizontale.
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0$ un point de $I$.
Si la dérivée $f’$ s’annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f(x_0)$ est un extremum local de $f$ sur $I$.
La réciproque est fausse. En effet, il est faux de croire que si $c$ est un maximum, alors $f$ est croissante à gauche de $c$, puis décroissante après. $f(c)$ est certes la valeur maximale, mais $f$ peut ne pas être monotone, ni à gauche, ni à droite. Prendre par exemple la fonction $f$ définie par : $f(x)=-\dfrac{x^2}{2}-x^2\sin^2\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
Etudier les extrema de la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par $f(x)=x^3+2x^2-7x+4$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in \R,\;f'(x)=3x^2+4x-7$.
On remarque que $f'(1)=f’\left(-\frac{7}{3}\right)=0$. De plus, $f\left(-\frac{7}{3} \right)=\frac{206}{27}$ et $f(1)=0$.
D’autre part, $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}x^3=-\infty $ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}x^3=+\infty$.
On en déduit le signe de $f'(x)$ et donc le tableau de variation de la fonction $f$ :\[\begin{array}{|c|lcccccr|}\hlinex & -\infty & & -7/3 & & 1 & & +\infty \\\hlinef′(x) & & + & 0 & – & 0 & + \\\hlinef(x) & -\infty & \quad\nearrow\quad & 206/27 & \quad\searrow\quad & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty \\\hline\end{array}\]Les extremums, s’il y en a, sont obtenus en $\left(-\frac{7}{3}\right)$ et en $1$, car $\R$ est un intervalle ouvert et l’ensemble des réels où $f’$ s’annule est $\left\{-\frac{7}{3},1\right\}$.
En $\left(-\frac{7}{3} \right)$, $f’$ s’annule en changeant de signe (positif puis négatif). Donc, $f$ admet un maximum local en $\left(-\frac{7}{3} \right)$.
En $1$, $f’$ s’annule en changeant de signe (négatif puis positif). Donc, $f$ admet un minimum local en $1$.
Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}\,f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}\,f(x)=-\infty$, les extremums locaux de $f$ en $\left(-\frac{7}{3}\right)$ et en $1$ ne sont pas des extremums globaux.