Naissance des nombres complexes
Les nombres complexes apparaissent au 16ème siècle en Italie, dans la résolution des équations polynômiales de degrés $2$, $3$ et $4$. Les principaux travaux à ce sujet sont dus à Cardan (1501-1576), Tartaglia (1499-1557) et Ferrari (1522-1560).
A cette époque (et pendant longtemps), on parle de racines et de nombres imaginaires, ce qui montre bien que ces nombres ne sont alors pas considérés comme de « vrais nombres ». C’est seulement leur emploi dans des domaines de plus en plus divers qui les ont fait accepter comme des objets mathématiques aussi valables que les nombres réels.
Au 18ème siècle, Euler qui introduisit la notation « $i$ » à la place de $\sqrt{-1}$, utilise (sans aucun complexe) ces nouveaux nombres dans toutes ses œuvres, aussi bien en analyse qu’en théorie des nombres. Il est l’artisan principal de leur extension à tout le calcul différentiel et intégral. En particulier, il développe les exponentielles complexes et fait ainsi le lien entre les fonctions trigonométriques et hyperboliques.
L’idée de la représentation des nombres complexes par des points du plan est due au danois Wessel (1797), mais son travail reste méconnu. C’est le travail d’Argand (1806), intitulé « Configuration plane des nombres complexes » qui sera le point de départ de cette idée fondamentale.
L’introduction des fonctions complexes, au début du 19ème siècle, en particulier les fonctions holomorphes ou analytiques et l’intégrale de ces fonctions, est le remarquable travail de Cauchy développé ensuite par Riemann. Il est à l’origine du succès extraordinaire de l’analyse complexe et de ses nombreuses applications à la physique, en particulier l’hydrodynamique, grâce au calcul des résidus et à la notion de transformation conforme. Gauss utilise aussi les fonctions complexes pour démontrer le théorème fondamental de l’algèbre, à savoir que tout polynôme de degré $n$ à coefficients complexes a exactement $n$ racines complexes (distinctes ou confondues). L’analyse complexe a permis également le développement de la théorie des fonctions elliptiques, qui est maintenant utilisée en cryptographie.
A propos de la notation $\sqrt{-1}$
Les racines carrées de-1 furent souvent notées $\sqrt{-1}$ et $-\sqrt{-1}$. Malheureusement, cette notation conduit à d’épouvantables contradictions. Effectuez le produit $\left(\sqrt{-1}\right)\times\left(\sqrt{-1}\right)$ :
- d’une part en appliquant la définition d’une racine carrée,
- d’autre part en appliquant la règle : $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.
La présence du symbole √ incite à appliquer une règle uniquement valable pour des réels positifs. Pour ne pas succomber à cette tentation, et pour en éviter les conséquences fâcheuses, Euler proposa donc de remplacer les symboles $\sqrt{-1}$ et-$\sqrt{-1}$ par $i$ et $-i$. Ainsi $i^2=-1$ et ${(-i)}^2=-1$. Cette notation, reprise par Gauss, est toujours utilisée.
De manière générale, la notation $\sqrt{a}$ est uniquement valable pour a réel positif. Elle n’a aucun sens (et son utilisation frauduleuse mène à des erreurs) pour a complexes non réel positifs. Cela sera développé dans la suite de vos études.