Chapitre 5Nombres complexes

On pose $z=-\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

1. La forme algébrique de $z^2$ est :\[\text{a. }2\sqrt{2}\qquad \text{b. }2\sqrt{2}-2 i\sqrt{2} \qquad \text{c. }2+\sqrt{2}+i(2-\sqrt{2})\qquad \text{d. }2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}\]
2. $z^2$ s’écrit sous forme exponentielle :\[\text{a. }4e^{i\pi/4}\qquad \text{b. }4e^{-i\pi/4} \qquad \text{c. }4e^{i3\pi/4}\qquad \text{d. }4e^{-i3\pi4}\]
3. $z$ s’écrit sous forme exponentielle :\[\text{a. }2e^{i7\pi/8}\qquad\text{b. }2e^{i\pi/8}\qquad\text{c. }2e^{i5\pi/8}\qquad \text{d. }2e^{i3\pi/8}\]
4. Les fractions $\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ sont respectivement les cosinus et sinus de :\[\text{a. }\frac{7\pi}{8}\qquad\text{b. }\frac{5\pi}{8}\qquad\text{c. }\frac{3\pi}{8}\qquad\text{d. }\frac{\pi}{8}\]

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation d’inconnue $z$ : $4z^2+8z+29=0$.
2. Représenter dans le plan complexe les images $A$ et $B$ des solutions de l’équation précédente, ainsi que le point $C$ d’affixe $2-\dfrac{3}{2}i$.
   Démontrer que le triangle $ABC$ est isocèle.

On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini par : $P(z)=z^4-z^3+z-1$.

1. Mettre $P(z)$ sous la forme $P(z)=(z-1)Q(z)$, où $Q$ est un polynôme. Montrer que $Q(z)$ se met sous la forme $Q(z)=(z+1)R(z)$, où $R$ est un polynôme que l’on déterminera.
2. Résoudre dans l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l’équation $P(z)=0$.Représenter dans le plan complexe les images des solutions de cette équation.
3. On appelle $\alpha$ la solution de partie imaginaire strictement positive.Calculer $\alpha^2$, $\alpha^3$, $\alpha^4$, $\alpha^5$, $\alpha^6$, puis $\alpha^{1992}$.