Les opérations sur les nombres complexes prolongent naturellement celles que l’on effectue sur les nombres réels. On obtient ainsi les relations ci-dessous.
Addition
Soient $z_1$ et $z_2$ deux complexes d’écriture algébriques $z_1=x_1+iy_1$ et $z_2=x_2+iy_2$.
Alors :\[z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).\]Voir l'animation
Soient $z_1$ et $z_2$ deux complexes d’écriture algébriques $z_1=x_1+iy_1$ et $z_2=x_2+iy_2$.
On a alors :\[z_1+z_2=(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2).\]En appliquant les règles du calcul algébrique usuelles, on obtient :\[z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).\]
Cette opération a les mêmes propriétés que l’addition des réels, à savoir :
- $z_1+z_2=z_2+z_1$ (commutativité) ;
- $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$ (associativité) ;
- $0+z=0+z=z$ ($0$ est l’élément neutre de l’addition des complexes) ;
- Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels. On pose $-z=(-x)+i(-y)$. Alors $z+(-z)=0$ (tout nombre complexe admet un opposé pour l’addition).
Avec les notations précédentes, la soustraction dans $\mathbb{C}$ se fait de la façon suivante :\[z_1-z_2=z_1+(-z_2)=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).\]
Si $z=3+2i$ et $z’=-5+7i$, alors :\begin{align*}z+z’ & =-2+9i, \\z-z’ & =8-5i.\end{align*}
Multiplication
Soient $z_1$ et $z_2$ deux complexes d’écriture algébriques $z_1=x_1+iy_1$ et $z_2=x_2+iy_2$. Alors :\[z_1\times z_2=(x_1\times x_2-y_1\times y_2)+i(x_1\times y_2+x_2\times y_1).\]Voir l'animation
Soient $z_1$ et $z_2$ deux complexes d’écriture algébriques $z_1=x_1+iy_1$ et $z_2=x_2+iy_2$.
On a alors :\[z_1\times z_2=(x_1+iy_1)\times (x_2+iy_2).\]En appliquant les règles du calcul algébrique usuelles, on obtient :\[z_1\times z_2=(x_1\times x_2-y_1\times y_2)+i(x_1\times y_2+x_2\times y_1).\]
Cette opération a encore les mêmes propriétés que la multiplication des réels, à savoir :
- $z_1\times z_2=z_2\times z_1$ (commutativité) ;
- $(z_1\times z_2)\times z_3=z_1\times(z_2\times z_3)$ (associativité) ;
- $1\times z=1\times z=z$ (1 est l’élément neutre de la multiplication des complexes) ;
- Soit $z=x+iy$ un complexe non nul avec $x$ et $y$ réels. Alors il existe un unique complexe $z’$ tel que $z\times z’=1$. Ce complexe $z’$ est appelé l’inverse de $z$ et est noté $\dfrac{1}{z}$.
- $z_1\times(z_2+z_3)=z_1\times z_2+z_1\times z_3$ (distributivité de la multiplication par rapport à l’addition).
La vérification des propriétés 1,2,3 et 5 est immédiate et laissée au lecteur.
- Propriété n°4
Soit $z$ complexe non nul d’écriture algébrique $z=x+iy$.
On cherche un complexe $z’=x’+iy’$ tel que $z\times z’=1$.
$z\times z’=1$ est équivalent à $(x+iy)(x’+iy’)=1$, ce qui équivaut à $(xx’-yy’)+i (xy’+x’y)=1$.
Cela revient donc à chercher $x’$ et $y’$ tels que :\begin{cases}xx’-yy’&=1 \\ xy’+x’y&=0.\end{cases}On obtient :\[x’=\frac{x}{x^2+y^2}\text{ et }y’=\frac{-y}{x^2+y^2}.\]Le complexe $z’=\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}$ est donc l’unique complexe vérifiant $z\times z’=1$.
Nous avons ainsi démontré que\[\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}.\]
- Si $z=3+2i$ et $z’=-5+7i$, alors :\begin{align*}z+z’ & =-2+9i, \\zz’ & =-29+11i.\end{align*}
- Si $z=3-7i$, alors :\[\frac{1}{z}=\frac{3}{58}+i\frac{7}{58}.\]