Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $5x^2+3=0$.
Cela revient à résoudre l’équation $x^2=-\dfrac{3}{5}$. Or, nous savons que le carré d’un réel est toujours positif.
Cette équation est donc impossible à résoudre dans $\mathbb{R}$, et son ensemble de solutions réelles est vide.
Nous introduisons un nombre révolutionnaire, que nous noterons $i$ et qui va avoir la propriété suivante :\[i^2=-1.\]Ce nombre ne peut pas être réel puisque le carré d’un réel est toujours positif.
En considérant $i$ comme un symbole algébrique et en appliquant les règles du calcul algébrique dans $\mathbb{R}$, développer et simplifier au maximum les expressions suivantes :\begin{align*}A&=(2+3i)(7-3i)&B&=1+i+i^2+i^3+i^4 \\C&=(1+i)(2-5i)(4+5i)&D&={(2-3i)}^4.\end{align*}
\begin{align*}A&=23+15i&B&=1 \\C&=43+23i&D&=-119+120i.\end{align*}