Définition
Pour tout réel $\theta$, on pose :\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.\]
Remarque
Cette écriture est une convention qui sera justifiée ultérieurement. Pour le moment, ne cherchez aucun lien avec l’exponentielle d’un réel. Nous verrons par la suite, en observant certaines règles de calcul, des similitudes pouvant expliquer ce choix.
Notation
Nous savons que tout nombre complexe $z$ non nul, de module $r\gt 0$ et dont $\theta$ est un argument, s’écrit :\[z=r(\cos\theta+i\sin\theta).\]Compte tenu de la définition ci-dessus, on obtient une nouvelle écriture de $z$, dite écriture exponentielle, qui est : \[z=re^{i\theta}.\]
Exemple
Dans l’exemple suivant, nous avons les trois écritures possibles d’un nombre complexe non nul : algébrique, trigonométrique et exponentielle.\[1+i=\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}e^{i\pi/4}.\]
Propriété
Pour tout réels $\theta$,$\theta_1$, $\theta_2$ et pour tout entier naturel $n$ :
- $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}$
- $\dfrac{e^{i\theta_1}}{e^{i\theta_2}}=e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ ; en particulier $\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$
- ${\left(e^{i\theta}\right)}^n=e^{in\theta}$ (avec la convention ${\left(e^{i\theta}\right)}^0=1$).
Voir la preuve
- Propriété n°1$e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$.En développant ce produit, on obtient :\[e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+i(\cos\theta_1\sin\theta_2+\cos\theta_2\sin\theta_1).\]En utilisant les formules d’addition de trigonométrie, on obtient :\[e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\]En revenant à l’écriture exponentielle, on obtient $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}$.
- Propriété n°2Elle découle de la précédente.
- Propriété n°3Nous allons utiliser un raisonnement par récurrence.On note $R(n)$ la proposition « ${\left({e^{i\theta}}\right)}^n=e^{in\theta}$ », $n$ étant un entier naturel.
- Nous vérifions que $R(0)$ est vraie.
- Nous supposons qu’il existe un entier naturel $n$ tel que $R(n)$ soit vraie. On veut alors prouver que $R(n+1)$ est encore vraie.\[{({e^{i\theta}})}^{n+1}={({e^{i\theta}})}^ne^{i\theta}=e^{in\theta}e^{i\theta}=e^{i(n\theta+\theta)}=e^{i(n+1)\theta}\quad\text{(en utilisant la propriété n°1)}\]La propriété est donc héréditaire.
- Nous en concluons que $R(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
Remarque
On rappelle que pour tous réels $x$ et $y$, et pour tout entier naturel $n$, on a :
- $e^xe^y=e^{x+y}$
- $\dfrac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$ ; en particulier $\dfrac{1}{e^y}=e^{-y}$
- ${(e^x)}^n=e^{nx}$.
Remarque
Pour faire le produit, le quotient de deux complexes non nuls, l’élévation d’un complexe à une puissance $n$ (un entier naturel), il est souvent plus simple d’utiliser leurs écritures exponentielles que leur écriture algébrique. Mais pour effectuer des sommes et des différences, il est plus simple d’utiliser la forma algébrique.
Exemple
Soit $z_1=e^{i\pi/3}$ et $z_2=e^{i\pi/4}$.
- Calculer le quotient $Z=\dfrac{z_1}{z_2}$ de deux façons différentes.
- En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
Voir la solution
- A l’aide des écritures exponentielles, on obtient :\[Z=\frac{e^{i\pi/3}}{e^{i\pi/4}}=e^{i(\pi/3-\pi/4)}=e^{i\pi/12}.\]A l’aide des écritures algébriques, on obtient :\begin{align*}Z&=\frac{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)+i\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right).\end{align*}
- En comparant ces deux écritures, on obtient :\[\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\quad\text{et}\quad\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\]