Chapitre 5Nombres complexes

Soit $z$ un nombre complexe d’écriture algébrique $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels. On appelle conjugué de $z$, le complexe, noté $\bar z$, défini par $\bar z=x-iy$.

1. Les points $M(z)$ et $N(\bar z)$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
2. On a $\Re(z)=\dfrac{z+\bar{z}}{2}$ et $\Im(z)=\dfrac{z-\bar{z}}{2}$.

Soit $z$ un nombre complexe. On a alors les équivalences suivantes : $$\begin{align*}(z\text{ réel})&\text{ si et seulement si }(z=\bar{z}) \\(z\text{ imaginaire pur})&\text{ si et seulement si }(z=-\bar{z})\end{align*}$$

Soit $z_1$ et $z_2$ deux complexes. Alors, on a les propriétés suivantes :

1. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
2. $\overline{z_1\times z_2}=\overline{z_1}\times\overline{z_2}$
3. $\forall n\in\mathbb{N},\overline{z^n}={(\bar{z})}^n$
4. $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}},\text{ avec }z_2\ne 0$
5. $\text{si $z=a+ib$ (avec $a$ et $b$ réels), alors }z\bar{z}=a^2+b^2$