Soit $z$ un nombre complexe d’écriture algébrique $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels. On appelle conjugué de $z$, le complexe, noté $\bar z$, défini par $\bar z=x-iy$.
- Les points $M(z)$ et $N(\bar z)$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
- On a $\Re(z)=\dfrac{z+\bar{z}}{2}$ et $\Im(z)=\dfrac{z-\bar{z}}{2}$.
Soit $z$ un complexe. On considère les points $M(z)$, $N(-z)$,$P(\bar z)$ et $Q(-\bar z)$.
Quelles relations existent entre ces points ?
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right)$.
- $M$ et $P$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
- $M$ et $N$ sont symétriques par rapport à l’origine $0$ du repère.
- $M$ et $Q$ sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Soit $z$ un nombre complexe. On a alors les équivalences suivantes :\begin{align*}(z\text{ réel})&\text{ si et seulement si }(z=\bar{z}) \\(z\text{ imaginaire pur})&\text{ si et seulement si }(z=-\bar{z})\end{align*}
Soit $z_1$ et $z_2$ deux complexes. Alors, on a les propriétés suivantes :
- $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
- $\overline{z_1\times z_2}=\overline{z_1}\times\overline{z_2}$
- $\forall n\in\mathbb{N},\overline{z^n}={(\bar{z})}^n$
- $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}},\text{ avec }z_2\ne 0$
- $\text{si $z=a+ib$ (avec $a$ et $b$ réels), alors }z\bar{z}=a^2+b^2$
La vérification des propriétés 1,3 et 4 est immédiate et laissée au lecteur.
- Propriété n°2
Soit $z_1=x_1+iy_1$ et $z_2=x_2+iy_2$ deux complexes sous forme algébrique.
On a :\[z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1).\]Donc :\[\overline{z_1z_2}=(x_1x_2-y_1y_2)-i(x_1y_2+x_2y_1).\]D’autre part :\[\overline{z_1}\overline{z_2}=(x_1-iy_1)(x_2-iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)-i(x_1y_2+x_2y_1).\]Ce qui prouve l’égalité proposée.- Propriété n°5
Soit $z=a+ib$ un nombre complexe sous forme algébrique. On a alors :\[z\bar{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-{(ib)}^2=a^2+b^2.\]