Chapitre 5Nombres complexes

1. $P(1)=P(2i)=0$.
2. $z_0=3+i$.
3. Les coordonnées respectives des points $A$, $B$ et $C$ sont $(1,0)$, $(0,2)$, $(3,1)$.
   L’affixe de $A$ est $z_A=1$, l’affixe de $B$ est $z_B=2i$ et l’affixe de $C$ est $z_C=3+i$.
   Calculons $AB$, $AC$ et $BC$ :\[AB=|z_B-z_A|=\sqrt{5}\text{ ; }AC=|z_C-z_A|=\sqrt{5}\text{ et }BC=|z_C-z_B|=\sqrt{10}.\]Nous avons donc $AB=AC$ et $AB^2+AC^2=BC^2$.
   Ainsi, le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle en $A$.

1. ${|Z|}^2=Z\bar{Z}=\dfrac{z-1}{\bar{z}-1}\overline{\left(\dfrac{z-1}{\bar{z}-1}\right)}=\dfrac{(z-1)(\bar{z}-1)}{(\bar{z}-1)(z-1)}=1$.
   Donc $|z|=1$.
2. Calculons d’abord $Z$ :\begin{align*}Z & =\dfrac{z-1}{\bar{z}-1}=\dfrac{{(z-1)}^2}{(\bar{z}-1)(z-1)}=\dfrac{{(z-1)}^2}{{|z-1|}^2}=\dfrac{{[(x-1)+iy]}^2}{{(x-1)}^2+y^2} \\& =\dfrac{{(x-1)}^2-y^2+2iy(x-1)}{{(x-1)}^2+y^2}\end{align*}On en déduit :\[Z=\frac{{(x-1)}^2-y^2}{{(x-1)}^2+y^2}+i\frac{2y(x-1)}{{(x-1)}^2+y^2}.\]Donc : \[\Re(Z)=\frac{{(x-1)}^2-y^2}{{(x-1)}^2+y^2}\quad\text{et}\quad\Im(Z)=\frac{2y(x-1)}{{(x-1)}^2+y^2}.\]
3. $Z\in\mathbb{R}$ si et seulement si $\Im(z)=0$. Donc $Z\in\mathbb{R}$ si et seulement si $\dfrac{2y(x-1)}{{(x-1)}^2+y^2}=0$.
   Finalement :\[Z\in\mathbb{R}\text{ si et seulement si }\begin{cases}x=1\text{ ou }y=0\\ (x,y)\ne (1,0)\end{cases}.\]L’ensemble $(E)$ est donc la réunion des deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ d’équations respectives $x=1$ et $y=0$, privée du point $A(1,0)$.

1. $f(Z)=Z$ si et seulement si $\dfrac{1+Z}{1-Z}=Z$.
   Donc :\begin{align*}f(Z)=Z & \text{ si et seulement si }1+Z=Z(1-Z) \\& \text{ si et seulement si }1+Z=Z-Z^2 \\& \text{ si et seulement si }Z^2=-1 \\& \text{ si et seulement si }Z=i\text{ ou }Z=-i\end{align*}Donc, l’ensemble des nombres complexes vérifiant $f(Z)=Z$ est $\{i,-i\}$.
2. 1. L’argument de $(1+Z)$ est l’argument de $\bigl(Z-(-1)\bigr)$.
      Donc, $\arg(1+Z)$ est une mesure de l’angle $\left(\vec{u},\overrightarrow{A’M}\right)$.
      Nous avons aussi que l’argument de $(1-Z)$ est une mesure de l’angle $\left(\vec{u},\overrightarrow{MA}\right)$.
      Donc, $\arg\left(\frac{Z-(-1)}{Z-1}\right)+\pi$ est une mesure de l’angle $\left(\overrightarrow{MA’},\overrightarrow{MA}\right)$ :\[\arg\left(f(Z)\right)=\left(\overrightarrow{MA’},\overrightarrow{MA}\right)+2k\pi, k\in\mathbb{Z}.\]
   2. $f(Z)$ est réel si et seulement si $\Im(Z)=0$. Déterminons alors la partie imaginaire de $f(Z)$.
      Posons $Z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.\begin{align*}f(Z) & =\frac{1+Z}{1-Z}=\frac{(1+x)+iy}{(1-x)-iy}=\frac{\left((1+x)+iy\right)\left((1-x)+iy\right)}{(1-x)^2+y^2}=\frac{\left((1+x)(1-x)-y^2\right)+i\left((1+x)y+(1-x)y\right)}{(1-x)^2+y^2} \\& =\frac{\left((1+x)(1-x)-y^2\right)+2iy}{(1-x)^2+y^2}\end{align*}Donc, $f(Z)$ est réel si et seulement si $\dfrac{2y}{(1-x)^2+iy^2}=0$ donc si et seulement si $y=0$.
      Rappelons que $f$ est définie sur $\mathbb{C}\setminus\{1\}$.
      Donc, l’ensemble des points $M$ du plan $P$ tels que $f(Z)$ soit un réel est $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

1. Pour $z=1$ alors $Z=0$.
   Pour $z=-i$ alors $Z=0$.
   Pour $z=1-i$ alors $Z=1$.
   Pour $z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{i}{2}$ alors $Z=\dfrac{1}{2}$.
2. On va calculer les parties réelles et imaginaires de $Z$ :
   \[Z=i{(x+iy)}^2-(1+i)(x+iy)+1.\]Après avoir développé, on obtient :\[Z=(1-x+y-2xy)+i(x^2-y^2-x-y).\]On a donc : \begin{align*}Z\in\mathbb{R} & \text{ si et seulement si }x^2-y^2-x-y=0 \\& \text{ si et seulement si }(x+y)(x-y)-(x+y)=0 \\& \text{ si et seulement si }(x+y)(x-y-1)=0 \\\end{align*}Et donc :\[Z\in\mathbb{R}\text{ si et seulement si }(y=-x\text{ ou }y=x-1).\]L’ensemble $(E)$ est donc la réunion des deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ d’équations respectives $y=-x$ et $y=x-1$.

1. Calculons $\sin^3(x)$ grace à la formule d’Euler :\begin{align*}\sin^3x & ={\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)}^3=\frac{e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix}}{-8i} \\& =\frac{(e^{3ix}-e^{-3ix})-3(e^{ix}-e^{-ix})}{-8i} \\& =\frac{2i\sin(3x)-6i\sin(x)}{-8i} \\& =\frac{-1}{4}\sin(3x)+\frac{3}{4}\sin(x).\end{align*}
2. Calculons l’intégrale $I$ :\begin{align*}I & =\int_{0}^{\pi/2}\sin(x){\left(1+\sin(x)\right)}^2\,dx=\int_{0}^{\pi/2}(\sin(x)+2{\sin}^2x+{\sin}^3x)\,dx \\& =\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\,dx+\int_{0}^{\pi/2}2{\sin}^2x\,dx+\int_{0}^{\pi/2}{\sin}^3x\,dx \\& =\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\,dx+\int_{0}^{\pi/2}(1+\cos (2x))\,dx \\& \qquad +\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{-1}{4}\sin (3x)+\frac{3}{4}\sin (x)\right)\,dx \\& =[-\cos (x)]_{0}^{\pi/2}+\left[x+\frac{1}{2}\sin (2x)\right]_{0}^{\pi/2}+\left[\frac{1}{12}\cos (3x)-\frac{3}{4}\cos (x)\right]_{0}^{\pi/2} \\& =(-0+1)+\left(\frac{\pi}{2}-0\right)+\left(0-\left(\frac{1}{12}-\frac{3}{4}\right)\right) \\& =\frac{23}{12}+\frac{\pi}{2}.\end{align*}

1. Nous avons :\[|z_1|=\left|\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\right|=\frac{1}{2}\left|\sqrt{6}-i\sqrt{2}\right|=\frac{1}{2}\sqrt{6+2}=\sqrt{2}.\]Ainsi :\[z_1=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}e^{-i\pi/6}.\]De même :\[|z_2|=|1-i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\]Et donc :\[z_2=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}e^{-i\pi/4}.\]Nous obtenons :\[Z=\frac{\sqrt{2}e^{-i\pi/6}}{\sqrt{2}e^{-i\pi/4}}=e^{i\left(\pi/4-\pi/6\right)}=e^{i\pi/12}.\]
2. D’après la question précédente, $Z=\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.Mais, nous avons aussi :\begin{align*}Z & =\frac{z_1}{z_2}=\frac{\dfrac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}}{1-i}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{1-i}=\frac{1}{2}\frac{\left(\sqrt{6}-i\sqrt{2}\right)(1+i)}{(1-i)(1+i)} \\& =\frac{1}{2}\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)+i\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{2}.\end{align*}Grâce à l’unicité de l’écriture algébrique, nous en déduisons :\[\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\quad\text{et}\quad\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\]