Soit $z=x+iy$ un complexe, avec $x$ et $y$ réels. Soit $M$ le point d’affixe $z$.
Le module du nombre complexe $z$, noté $|z|$, est égal à la distance $OM$.
Soit $z=x+iy$ un complexe, avec $x$ et $y$ réels.
- $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar{z}}$
- $|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$ (inégalité triangulaire)
- $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$
- $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}\text{ (avec $z_2\ne 0$)}$
- $\forall n\in\mathbb{N},\ |z^n|={(|z|)}^n$
- $|z|=0\iff z=0$
La vérification des propriétés 3, 4, 5 et 6 est immédiate et laissée au lecteur.
On rappelle que le plan est muni d’un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right)$
- Propriété n°1
On a $|z|$=OM.
Sachant que le point $M$ a pour coordonnées $(x,y)$, on déduit que $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.
Nous avons vu auparavant que $z\bar{z}=x^2+y^2$.
D’où le résultat.- Propriété n°2
Soit $z_1=x_1+iy_1$ et $z_2=x_2+iy_2$ deux complexes sous forme algébrique.
On pose $z_3=z_1+z_2$ et on note $M_1,M_2 et M_3$ les points d’affixe respectives $z_1$,$z_2$ et $z_3$.
Le quadrilatère $OM_1M_3M_2$ est un parallélogramme.
Le plus court chemin entre deux points étant la ligne droite, on a :\[OM_3\le OM_1+M_1M_3.\]Compte tenu du fait que $M_1M_3=OM_2$, on obtient :\[OM_3\le OM_1+OM_2.\]Ce qui se traduit par :\[|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|.\]
Soit $z=(m-1)+(2m+3)i$, où $m$ est un paramètre réel.
Pour quelles valeurs de $m$ a-t-on $|z|=5$ ?
Cela revient à résoudre l’équation : $\sqrt{{(m-1)}^2+{(2m+3)}^2}=5$.
Après avoir élevé au carré, on obtient :\[{(m-1)}^2+{(2m+3)}^2=25\text{ soit }m^2+2m-3=0$.\]Cette équation admet deux solutions : $1$ et $-3$.On s’assure qu’elles vérifient l’équation de départ car le fait de l’avoir élevée au carré pour la résoudre risque de faire apparaître des valeurs qui ne sont pas solutions.
En effet, l’égalité « $a=b$ » implique l’égalité « $a^2=b^2$ » mais la réciproque est fausse. Nous pouvons avoir l’égalité « $a^2=b^2$ » sans avoir l’égalité « $a=b$ ».