Objectifs
Les nombres complexes sont utilisés dans de nombreux domaines, aussi bien en mathématiques qu’en physique.
Au niveau de ce chapitre, nous n’allons évidemment pas tout aborder. Nous allons nous limiter aux notions indispensables pour entrer dans l’enseignement supérieur.
Il faut savoir ce qu’est un nombre complexe, ses différentes écritures, son interprétation géométrique et être capable de faire des calculs faisant intervenir les nombres complexes.
Il faut comprendre comment on utilise les complexes pour résoudre certaines équations qui n’ont pas de solutions dans $\mathbb{R}$.
Pré-requis
Pour bien assimiler ce chapitre, il est nécessaire de connaitre les notions suivantes :
- Les règles du calcul algébrique dans $\mathbb{R}$.
On rappelle que si a, $b$ et c sont des réels alors :- $a+b=b+a$ et $a\times b=b\times a$ (Commutativité de l’addition et de la multiplication).
- $a+(b+c)=(a+b)+c$ et $a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$ (Associativité de l’addition et de la multiplication).
- $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ (Distributivité de la multiplication sur l’addition).
- La recherche des solutions d’une équation du second degré à coefficients réels.
- Les notions de cosinus et de sinus d’un angle orienté.
Considérons le plan muni d’un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right)$.
On appelle cercle trigonométrique, notée $(C)$, le cercle de centre $0$, de rayon $1$. Sur ce cercle, le sens de parcours positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre. On appelle ce sens le sens trigonométrique.
Sur le cercle trigonométrique, on place le point $M$ tel que l’angle orienté $\left(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{OM}\right)$ ait une mesure égale à un réel $\theta$.
Par définition, on pose $x_M=\cos (\theta)$ et $y_M=\sin (\theta)$.
Crédits
- Auteur du cours : Guy Athanaze (INSA de Lyon)
- Auteur de la « Présentation historique » : Paul Sablonnière (INSA et IRMAR de Rennes)