Soient $a$ et $b$ deux complexes distincts d’images respectives $A$ et $B$.
Alors :\[|b-a|=AB\quad\text{et}\quad \arg(b-a)=\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB}\right)+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}.\]
On introduit le point $C$ d’affixe $(b-a)$.On a donc $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}$.Le quadrilatère $OCBA$ est donc un parallélogramme.
On en déduit :\begin{align*}& AB=OC=|b-a| \\& \arg(b-a)=\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{OC}\right)=\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB}\right)\text{ puisque }\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}.\end{align*}
Soient $a$, $b$ et $c$ des complexes deux à deux distincts, d’images respectives $A$,$B$ et $C$.
Alors :\[\arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}.\]
$\arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)=\arg(c-a)-\arg(b-a)+2k\pi$
D’après le théorème précédent :\[\arg(b-a)=\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB}\right)+2k\pi\quad\text{et}\quad \arg(c-a)=\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right)+2k\pi,\text{ avec $k\in\mathbb{Z}$}.\]Donc :\[\arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right)=\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB}\right)-\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right)+2k\pi=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{e_1}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB}\right)+2k\pi.\]En utilisant la relation de Chasles pour les angles de vecteurs, on obtient :\[\arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}.\]
On considère les points $A$ et $\Omega$ d’affixes respectives $3$ et $(1+i)$.
Calculer l’affixe $z_{A’}$ du point $A’$ image du point $A$ dans la rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\dfrac{\pi}{3}$.
Le point $A’$ doit vérifier deux choses :\begin{align*}& \Omega A=\Omega A’ \\& \left(\overrightarrow{\Omega A},\overrightarrow{\Omega A’}\right)=\frac{\pi}{3}+2k\pi,\text{ avec $k\in\mathbb{Z}$}.\end{align*}A l’aide des deux théorèmes précédents, on peut traduire ces deux conditions sur les affixes de la façon suivante :\[\dfrac{z_{A’}-z_\Omega}{z_A-z_\Omega}=e^{i\pi/3}.\]Ce qui se traduit par $z_{A’}-z_\Omega=e^{i\pi/3}(z_A-z_\Omega)$ soit $z_{A’}=e^{i\pi/3}(z_A-z_\Omega)+z_\Omega$.
On en déduit : \begin{align*}z_{A’}& =\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)\left(3-(1+i)\right)+(1+i) \\& =\left(\sqrt{3}+\frac{3}{2}\right)+i\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).\end{align*}