Pour tout réel $\theta$, et pour tout entier naturel $n$, on a :\[{\left(e^{i\theta}\right)}^n=e^{in\theta}.\]Cette formule peut aussi s’écrire sous la forme suivante :\[(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\]
On reprend la propriété ${\left(e^{i\theta}\right)}^n=e^{in\theta}$, pour tout entier naturel $n$.
Avec l’écriture trigonométrique, on obtient la formule annoncée.
Exprimer $\cos(3\theta)$ à l’aide de puissances de $\cos(\theta)$ et de $\sin(\theta)$.
D’après la formule de Moivre, on a :\[{(\cos\theta+i\sin\theta)}^3=\cos(3\theta)+i\sin(3\theta).\]On développe le premier membre avec la formule du binôme de Newton, puis on identifie les parties réelles et imaginaires.\[(\cos\theta)^3+3(\cos\theta)^2(i\sin\theta)+3\cos\theta(i\sin\theta)^2+(i\sin\theta)^3=\cos(3\theta)+i\sin(3\theta).\]Soit :\[(\cos\theta)^3+3i(\cos\theta)^2(\sin\theta)-3(\cos\theta)(\sin\theta)^2-i(\sin\theta)^3=\cos(3\theta)+i\sin(3\theta).\]Finalement :\[\cos(3\theta)=(\cos\theta)^3-3(\cos\theta)(\sin\theta)^2\text{ et }\sin(3\theta)=3(\cos\theta)^2(\sin\theta)-(\sin\theta)^3.\]
Pour tout réel $\theta$, on a :\[\cos(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\quad\text{et}\quad\sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.\]Voir l'animation
$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ et $e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta$.Par somme, et différence, de ces deux relations, on obtient :\[2\cos\theta=e^{i\theta}+e^{-i\theta}\quad\text{et}\quad 2i\sin\theta=e^{i\theta}-e^{-i\theta}.\]D’où :\[\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\quad\text{et}\quad\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.\]
Exprimer $(\cos\theta)^3$ à l’aide de $\cos(\theta)$, $\cos(2\theta)$ et $\cos(3\theta)$.
On utilise de nouveau la formule du binôme de Newton :\[\begin{align*}(\cos\theta)^3&={\left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)}^3 \\&=\frac{1}{8}\left[{\left(e^{i\theta}\right)}^3+3{\left(e^{i\theta}\right)}^2\left(e^{-i\theta}\right)+3\left(e^{i\theta}\right){\left(e^{-i\theta}\right)}^2+{\left(e^{-i\theta}\right)}^3\right]. \end{align*}\]Donc :\[(\cos\theta)^3=\frac{1}{8}\left[e^{i3\theta}+3e^{i2\theta}e^{-i\theta}+3e^{i\theta}e^{-i2\theta}+e^{-i3\theta}\right].\]Soit :\[\begin{align*}(\cos\theta)^3&=\frac{1}{4}\left[\frac{e^{i3\theta}+e^{-i3\theta}}{2}+3\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right] \\&=\frac{1}{4}\left[\cos(3\theta)+3\cos(\theta)\right].\end{align*}\]
On dit alors que l’on a linéarisé $(\cos\theta)^3$.
Cette technique sera utilisée lorsqu’on voudra calculer des primitives de fonctions du type $(\cos x)^p$, $(\sin x)^q$, $(\cos x)^p(\sin x)^q$, avec $p$ et $q$ entiers naturels.