Soit $a$ un réel non nul. Les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation « $z^2=a$ » sont appelées racines carrées du réel $a$. On distingue alors trois cas suivant le signe de $a$ :
- $a\gt 0$
\begin{align*}z^2=a&\iff z^2-{(\sqrt{a})}^2=0\iff (z-\sqrt{a})(z+\sqrt{a})=0 \\&\iff z=-\sqrt{a}\quad\text{ou}\quad z=\sqrt{a}\end{align*}On a alors deux racines réelles opposées : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$. - $a\lt 0$
\begin{align*}z^2=a&\iff z^2-{(i\sqrt{-a})}^2=0\iff (z-i\sqrt{-a})(z+i\sqrt{-a})=0 \\&\iff z=-i\sqrt{-a}\quad\text{ou}\quad z=i\sqrt{-a}\end{align*}On a alors deux racines imaginaires pures conjuguées : $i\sqrt{-a}$ et $-i\sqrt{-a}$. - $a=0$
\[z^2=0\iff z=0\]On a alors une seule racine carrée : $0$.
Les racines carrées de $(-1)$ sont $(-i)$ et $i$.
Soit l’équation « $ax^2+bx+c=0$ » avec $a$, $b$ et $c$ réels, et $a\ne 0$. Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant de cette équation. On distingue alors trois cas :
- Si $\Delta \gt 0$
Alors l’équation admet pour solutions $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\text{ et }x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
Dans ce cas, on a donc deux réelles distinctes, pouvant se noter $\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$. - Si $\Delta=0$
Alors l’équation admet une solution unique $x=-\dfrac{b}{2a}$.
Cette racine est réelle. - Si $\Delta \lt 0$
Alors l’équation admet pour solutions $x_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\text{ et }x_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
Dans ce cas, on a donc deux réelles complexes conjuguées, pouvant se noter $\dfrac{-b\pm\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
Soit $P$ le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ et soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant. Trois cas se présentent.
- Si $\Delta \gt 0$
Nous obtenons :\begin{align*}P(x)=0&\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta}{4a^2}\iff x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{ou}\quad x+\frac{b}{2a}=\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \\&\iff x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{ou}\quad x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\end{align*}L’ensemble des solutions de l’équation $P(x)=0$ est donc :\[\left\{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}.\]- Si $\Delta=0$
Nous obtenons :\[P(x)=0\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=0\iff x+\frac{b}{2a}=0\iff x=-\frac{b}{2a}\]L’ensemble des solutions de l’équation $P(x)=0$ est donc :\[\left\{\frac{-b}{2a}\right\}.\]- Si $\Delta \lt 0$
Nous obtenons :\begin{align*}P(x)=0&\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta}{4a^2}\iff x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\quad\text{ou}\quad x+\frac{b}{2a}=\frac{-\sqrt{-\Delta}}{2a} \\*&\iff x=\frac{-b+\sqrt{-\Delta}}{2a}\quad\text{ou}\quad x=\frac{-b-\sqrt{-\Delta}}{2a}\end{align*}L’ensemble des solutions de l’équation $P(x)=0$ est donc :\[\left\{\frac{-b+\sqrt{-\Delta}}{2a},\frac{-b-\sqrt{-\Delta}}{2a}\right\}.\]
Trouver les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $x^2+x+1=0$.
On trouve le discriminant $\Delta=-3.$ Cette équation n’a pas de racine réelle, mais elle admet deux racines complexes conjuguées : \[x_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=e^{i2\pi/3}\quad\text{ou}\quad x_2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}=e^{-i2\pi/3}.\]Par convention, on note $j=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$. On a alors $\bar{j}=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}$.
Le trinôme $P(x)=x^2+x+1$ peut donc se factoriser $(x-j)\left(x-\bar{j}\right)$.