Soit $z$ un nombre complexe non nul tel que $r=|z|$ et $arg(z)=\alpha+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}$.
Alors :\[z=r(\cos\alpha+i \sin\alpha).\]Cette écriture est appelée l’écriture trigonométrique du complexe $z$.
Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, un complexe non nul.
On pose :\[\arg (z)=\alpha+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}.\]Nous avons vu que l’on a $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$. $z$ étant non nul, nous avons $|z|\gt 0$.
On peut donc écrire :\[z=\sqrt{x^2+y^2}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+i\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right).\]On note $N\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$ et $M(x,y)$.
On a :\[\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{ON}\right)=\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{OM}\right)=\arg z+2k\pi=\alpha+2k\pi,\text{ avec $k\in\mathbb{Z}$}.\]Notons $(x_N,y_N)$ les coordonnées de $N$ :\[x_N=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad\text{et}\quad y_N=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.\]Remarquons que ${x_N}^2+{y_N}^2=1$. Ainsi, $N$ est un point du cercle trigonométrique.On a donc $x_N=\cos\alpha$ et $y_N=\sin\alpha$.
Finalement : \[z=|z|(x_N+iy_N)=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha).\]
Soit $z$ un complexe non nul tel que $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$, avec $r$ un réel strictement positif.
Alors :\[r=|z|\text{ et }\alpha=\arg (z)+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}.\]
Soit $z=(\sqrt{3}-2)\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right)$.
Calculer $|z|$ et $\arg(z)$.
On remarque que $\sqrt{3}-2\lt 0$.
Donc :\begin{align*}z&=(2-\sqrt{3})\left(-\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)-i\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right) \\&=(2-\sqrt{3})\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{5}+\pi\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{5}+\pi\right)\right)\end{align*}Finalement :\[z=(2-\sqrt{3})\left(\cos\left(\dfrac{6\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{6\pi}{5}\right)\right).\]On a alors l’écriture trigonométrique de $z$, d’où :\[|z|=2-\sqrt{3}\quad\text{et}\quad\arg(z)=\frac{6\pi}{5}+2k\pi,\text{ avec $k\in\mathbb{Z}$}.\]
Soit $z$ un nombre complexe non nul tel que $z=x+iy$ et $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ avec $r$ réel strictement positif.
Soit $M$ le point du plan d’affixe $z$. Alors le couple $(x,y)$ constitue les coordonnées cartésiennes du point $M$, alors que le couple $(r,\alpha)$ constitue les coordonnées polaires du point $M$.
Soit $z$ un nombre complexe non nul, nous pouvons l’écrire :
- Algébriquement\[z=x+iy\text{ avec $x$ et $y$ deux réels }\]
- Trigonométriquement\[z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\text{ avec $r$ réel strictement positif}\]
On peut aisément passer d’une écriture à l’autre. En effet :
- Si on connaît l’écriture algébrique $z=x+iy$, alors on peut déduire le module et l’argument grâce aux relations suivantes :
\begin{align*}&|z|=\sqrt{x^2+y^2} \\&\cos(\alpha)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{ et }\sin(\alpha)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{align*} - Dans l’autre sens, si on connaît l’écriture trigonométrique $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ avec $r\gt 0$, alors on peut déduire les parties réelles et imaginaires grâce aux relations suivantes :\[x=r\cos(\alpha)\text{ et }y=r\sin(\alpha)\]
Soit $z=1+i$.
Alors, $|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ et nous obtenons $z=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Avec les notations ci-dessus, nous cherchons $\alpha$ tel que :\[\cos(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ et }\sin(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}.\]Nous pouvons choisir $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ et ainsi :\[z=1+i=\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right).\]
Soit $z=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$.
Nous obtenons :\begin{align*}z&=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) \\&=2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+2i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\&=2\dfrac{1}{2}+2i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=1+i\sqrt{3}.\end{align*}