Chapitre 5Nombres complexes

Soit $z$ un nombre complexe non nul tel que $r=|z|$ et $arg(z)=\alpha+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}$.
Alors : $$z=r(\cos\alpha+i \sin\alpha).$$ Cette écriture est appelée l’écriture trigonométrique du complexe $z$.

Soit $z$ un complexe non nul tel que $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$, avec $r$ un réel strictement positif.
Alors : $$r=|z|\text{ et }\alpha=\arg (z)+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}.$$

Soit $z$ un nombre complexe non nul tel que $z=x+iy$ et $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ avec $r$ réel strictement positif.
Soit $M$ le point du plan d’affixe $z$. Alors le couple $(x,y)$ constitue les coordonnées cartésiennes du point $M$, alors que le couple $(r,\alpha)$ constitue les coordonnées polaires du point $M$.

Soit $z$ un nombre complexe non nul, nous pouvons l’écrire :

• Algébriquement $$z=x+iy\text{ avec $x$ et $y$ deux réels }$$
• Trigonométriquement $$z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\text{ avec $r$ réel strictement positif}$$

On peut aisément passer d’une écriture à l’autre. En effet :

• Si on connaît l’écriture algébrique $z=x+iy$, alors on peut déduire le module et l’argument grâce aux relations suivantes :
  $$\begin{align*}&|z|=\sqrt{x^2+y^2} \\&\cos(\alpha)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{ et }\sin(\alpha)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{align*}$$
• Dans l’autre sens, si on connaît l’écriture trigonométrique $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ avec $r\gt 0$, alors on peut déduire les parties réelles et imaginaires grâce aux relations suivantes : $$x=r\cos(\alpha)\text{ et }y=r\sin(\alpha)$$