Chapitre 5Nombres complexes

On appelle nombre complexe, ou simplement complexe, tout nombre $z$ qui s’écrit sous la forme $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels, où $i$ est un nombre vérifiant la relation $i^2=-1$.

Soient $z$ et $z’$ deux complexes. On note $z=x+iy$ et $z’=x’+iy’$ avec $x$, $y$, $x’$ et $y’$ réels.
On définit l’égalité de deux complexes de la façon suivante : $$(z=z’)\text{ si et seulement si }(x=x’\text{ et }y=y’)$$ Par conséquent chaque complexe admet une seule écriture de la forme $x+iy$, avec $x$ et $y$ réels, qui est appelée son écriture algébrique.

On note $\mathbb{C}$ l’ensemble des nombres complexes.

Tout nombre réel est un nombre complexe.

Soit $z$ un nombre complexe. Il existe donc un unique couple de réels $(x,y)$ tels que $z=x+iy$.
$x$ est appelé la partie réelle de $z$, et $y$ est la partie imaginaire de $z$.

On note : $$x=\Re(z)\text{ et }y=\Im(z).$$

Soient $z$ et $z’$ deux complexes. D’après ce qui précède, on a l’équivalence suivante : $$(z=z’)\text{ si et seulement si }\bigl(\Re(z)=\Re(z’)\text{ et }\Im(z)=\Im(z’)\bigr).$$

Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé un imaginaire pur.

Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est un réel.

Soit $z=(m^2-1)+(2m+3)i$, où $m$ est un paramètre réel.
Pour quelles valeurs de $m$, $z$ est-il réel ? imaginaire pur ?

Le plan muni d’un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right)$ est appelé plan complexe.

Au nombre complexe $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, on associe le point $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right)$. On notera $M(x,y)$ le point de coordonnées $(x,y)$.
Dans l’autre sens, au point $M(x,y)$, on associe le complexe $z=x+iy$.

On établit ainsi une correspondance entre les nombres complexes et les points du plan. $M(x,y)$ est l’image du nombre complexe $z=x+iy$ et $z=x+iy$ est l’affixe du point $M(x,y)$.

On notera alors $M(z)$ le point d’affixe $z$.

Deux points sont confondus si et seulement si leurs affixes sont égales.