Soient $z$ et $z’$ deux nombres complexes non nuls. Alors :\[\arg(zz’)=\arg(z)+\arg(z’)+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}\]Voir l'animation
Théorème que nous retenons sous la forme :\[\text{L’argument d’un produit est donc égal à la somme des arguments.}\]
On a $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ et $z’=r'(\cos\alpha’+i\sin\alpha’)$ avec $r$ et $r’$ deux réels strictement positifs.
D’où :\[zz’=rr'[(\cos\alpha\cos\alpha’-\sin\alpha\sin\alpha’)+i(\cos\alpha\sin\alpha’+\sin\alpha\cos\alpha’)]\]D’après les formules d’addition en trigonométrie :\begin{align*}\cos\alpha\cos\alpha’-\sin\alpha\sin\alpha’&=\cos (\alpha+\alpha’), \\\cos\alpha\sin\alpha’+\sin\alpha\cos\alpha’&=\sin (\alpha+\alpha’).\end{align*}}Ce qui permet d’écrire :\[zz’=rr'[\cos (\alpha+\alpha’)+i\sin(\alpha+\alpha’)]\]De par l’unicité de l’écriture trigonométrique, on obtient le résultat annoncé.
On en déduit facilement les propriétés suivantes :
Pour tous complexes non nuls $z$ et $z’$, pour tout entier naturel n :
- $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z)+2k\pi,\text{ avec $k\in\mathbb{Z}$}$.
- $\arg\left(\dfrac{z}{z’}\right)=\arg(z)-\arg(z’)+2k\pi,\text{ avec $k\in\mathbb{Z}$}$.
- $\arg(z^n)=n\arg (z)+2k\pi,\text{ avec $k\in\mathbb{Z}$}$.
Calculer $z={(1+i\sqrt{3})}^5$.
- On commence par écrire $z_0=1+i\sqrt{3}$ sous forme trigonométrique.
\begin{align*}&|z_0|=2 \\&\begin{cases}\cos\alpha&=\frac{1}{2}\\ \sin\alpha&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{cases}\iff \alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$.}\end{align*}Donc :\[z_0=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]\]- Sachant que $z={(z_0)}^5$, on déduit :\begin{align*}&|z|={|z_0|}^5=2^5=32, \\&\arg(z)=5\arg(z_0)=\dfrac{5\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}.\end{align*}
Ainsi,\begin{align*}z&=32\left[\cos(-\dfrac{\pi}{3})+i\sin(-\dfrac{\pi}{3})\right]=32\left[\cos(\dfrac{\pi}{3})-i\sin(\dfrac{\pi}{3})\right]=32\left[\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \\&=16(1-i\sqrt{3}).\end{align*}