Chapitre 5Nombres complexes

Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, un complexe non nul. Soit $M$ le point d’affixe $z$.
Toute mesure de l’angle orienté $\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{OM}\right)$ est appelé un argument de $z$.
Tout complexe non nul admet donc une infinité d’arguments qui diffèrent entre-eux d’un multiple de $2\pi$.
Si $\theta$ est un argument de $z$, alors tout autre argument est de la forme $\theta+2k\pi\text{ avec }k\in\mathbb{Z}$.
On note : $$\arg(z)=\theta+2k\pi\text{ avec }k\in\mathbb{Z}.$$ Voir l'animation

D’autres notations existent, telles que $\arg z=\theta\bmod 2\pi$ ou $\arg z=\theta (2\pi)$, mais nous ne les utiliserons pas dans le cadre de ce cours.

1. $\arg (-z)=\arg (z)+\pi+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}$
2. $\arg (\bar{z})=-\arg (z)+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}$
3. $\arg (-\bar{z})=\pi-\arg (z)+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}$

Soient $z$ et $z’$ deux complexes non nuls. Alors, on a l’équivalence suivante : $$(z=z’)\text{ si et seulement si }\bigl(|z|=|z’|\text{ et }\arg (z)=\arg (z’)+2k\pi\text{, avec $k\in\mathbb{Z}$}\bigr)$$