Un évènement est élémentaire, s’il ne contient qu’un unique résultat de l’univers des résultats possibles ; ce résultat est appelé singleton.
L’ensemble vide ou dépourvu d’éléments est appelé comme l’évènement impossible de se produire dans les résultats possibles d’une expérience aléatoire.\[\varnothing\subset \Omega\]
L’ensemble des tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire est un évènement qui se produit toujours, il est l’évènement certain.\[\Omega\subset \Omega\]
L’ensemble des tous les résultats possibles qui sont défavorables à un évènement $A$ est appelé évènement supplémentaire de $A$ et sa notation est $\bar{A}$ ou $A’$ ou $A^c$. L’évènement complémentaire se produit si $A$ ne se produit pas.
Étant donné deux évènements $A$ et $B$ d’un même univers, leur union génère un nouvel évènement correspondant à tous les résultats possibles favorables à $A$ et à $B$.
$A\cup B$ se produit si $A$ se produit ou si $B$ se produit ou si les deux se produisent simultanément.\[A\cup B=\{x\in\Omega\vert x\in A\text{ ou } x\in B \text{ ou } x\in (A et B)\}\]
Étant donné deux évènements $A$ et $B$ d’un même univers, leur intersection produit un évènement que correspond à tous les résultats possibles communs dans les deux évènements; dans l’exécution de l’expérience aléatoire $A\cap B$ est un évènement qui se produit si $A$ se produit et $B$ se produit, pendant la réalisation de l’expérience aléatoire.\[A\cap B=\{x\in\Omega\vert x\in A\text{ et }x\in B\}\]
Si $A$ et $B$ n’ont pas d’éléments communs, ce qui équivaut à l’impossibilité de se produire simultanément dans la même réalisation de l’expérience, on dit qu’ils sont des évènements mutuellement exclusifs (disjoints ou incompatibles)\[A\cap B=\varnothing\]
Si $A$ et $B$ sont deux évènements tels que B\subset A, alors $A-B$ est un nouvel évènement qui se produit si $A$ se produit et $B$ ne se produit pas dans la réalisation de l’expérience aléatoire.\[A-B=\{x\in\Omega\vert x\in A\text{ et }x\notin B\}\]
Voici quelques résultats utiles d’opérations avec des évènements et considérés comme des lois :
- Loi Commutative
$(A\cup B)=(B\cup A)$
$(A\cap B)=(B\cap A)$ - Loi Distributive
$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$
$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$ - Loi Associative
$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C$
$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C$ - Loi de Morgán (pour compléments d’union et intersection)
$(A\cup B)’= A’\cap B’$
$(A\cap B)’= A’\cup B’$