Une expérience aléatoire est un processus qui génère une ou plusieurs données ou résultats différents et imprévisibles, même si l’opération est réalisée ou répétée dans les mêmes conditions.
- Mesurer la résistance de compression de tôles d’acier ;
- Déterminer la méthode de production la plus efficace ;
- Mesurer le courant passant dans un câble.
L’Expérience Aléatoire la plus simple est celle qui n’a que deux résultats possibles.
L’univers est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. Il est noté $\Omega$ (« omega ») et les résultats sont placés entre accolades. Cet ensemble de résultats possibles peut être fini, infini, infini comptable ou infini non comptable.
$\Omega$ est dit discret, si ses résultats peuvent être mis en correspondance un à un avec l’ensemble des entiers positifs. $\Omega$ est dit continue si ses résultats sont dans des intervalles de nombres réels.
Quelques exemples de $\Omega$ :
- Lancement d’une pièce de monnaie une fois (avec $P=\text{Pile}$ et $F=\text{Face}$) : $\Omega=\{F,P\}$.
- Lancement d’une pièce de monnaie deux fois : $\Omega=\{FF,FP,PF,PP\}$.
- Révision de trois moteurs en série, en les qualifiant (avec $B=\text{Bon}$ et $D=\text{Défectueux}$) : $\Omega=\{BBD,BBD,BDB,DBB,DDD,DDB,DBD,BDD\}$.
- Résistance à la compression de cylindres en béton (kg/cm²).
La définition de l’univers dépend souvent du but de l’expérience et comme tel, il peut présenter des variations.
Lot de production avec trois articles $A$, $B$ et $C$ dont deux sont sélectionnés.
- Si la sélection est sans remise : $\Omega=\{AB,AC,BA,BC,CA,CB\}$ ;
- Si la sélection est avec remise : $\Omega=\{AA,AB,AC,BA,BC,BB,CA,CB,CC\}$.
Dans la pratique on peut être intéressé par un seul sous-ensemble des résultats possibles, on parvient au concept d’Évènement.
Un évènement est déterminé par un attribut qui est associé à un sous-ensemble de l’univers ; il se produit si lors de l’exécution de l’expérience aléatoire, le résultat appartient à ce sous-ensemble. Les évènements sont généralement désignés par des lettres latines en majuscules.
L’expérience aléatoire : Observer le nombre de voitures qui arrivent à une station-service qui peut accueillir 10 voitures, entre 12h00 et 00h02 d’un jour donné.
En posant $w_i=\{\text{On observe $i$ voitures.}\}$, on a :\[\Omega=\{w_0, w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, w_7, w_8, w_9, w_{10}\}\]
Évènements :
- $A=\{\text{On observe 6 voitures}\}$
Traduit à la notation des ensembles, ceci est équivalent à $A=\{w_6\}$ qui constitue un évènement élémentaire de $\Omega$ ($A\subset \Omega$). - $B=\{\text{On observe moins de 4 voitures}\}$ (au plus 3 voitures)
Ceci est équivalent à $B=\{w_0, w_1, w_2, w_3\}$ qui est un évènement de $\Omega$ ($B\subset \Omega$). - $C=\{\text{On observe plus de 2 voitures}\}$ (au moins 3 voitures)
Ce qui est équivalent à $C=\{w_3, w_4, w_5, w_6, w_7, w_8, w_9, w_{10}\}$ qui est également un évènement de $\Omega$ ($C\subset \Omega$).