Nous allons exposer au travers d’exemples les principales techniques de calcul de limites. Nous nous intéresserons seulement aux cas où les tableaux précédents ne permettent pas de conclure, c’est-à-dire dans le cas de formes indéterminées (cf. cours précédent).
Ces règles là ne sont pas exhaustives. Dans vos études ultérieures, vous verrez d’autres règles. Malheureusement, malgré toutes les règles connues, vous trouverez toujours des cas de limites auquel nous ne pourrons répondre…
Nous aborderons ici trois techniques essentielles.
Factorisation du terme « dominant »
Nous allons expliquer cette méthode au travers de l’activité suivante.
Soit $P$ le polynôme défini par $P(x)=3x^4-25x^3+2x-7$.
Etudions la limite de $P$ en $+\infty$.
La forme indéterminée $\infty-\infty $ apparaissant, mettons le terme $3x^4$ en facteur dans $P(x)$.
Nous avons :\[\forall x\in\R^*,\ P(x)=3x^4\left(1-\frac{25}{3}\frac{1}x+\frac{2}{3}\frac{1}{x^3}-\frac{7}{3}\frac{1}{x^4}\right).\]Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac{25}{3}\dfrac{1}x+\dfrac{2}{3}\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{7}{3}\dfrac{1}{x^4} \right)=1$, nous obtenons :\[\lim\limits_{x\to +\infty}P(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}3x^4=+\infty.\]
Tout polynômeUne fonction polynôme réelle (ou plus simplement un polynôme réel) est une fonction de $\R$ dans $\R$ telle qu’il existe $(n+1)$ réels $a_0$, $a_1$, …, $a_n$ tels que pour tout réel $x$,\[\begin{align*}P(x)&=a_0+a_1x+\dotsb+a_nx^n \\&=\sum\limits_{k=0}^n a_k x^k$.\end{align*}\]Attention, dans un polynôme, les puissances de $x$ qui apparaissent dont des entiers naturels… Par exemple $P$ définie par $P(x)=x^3-x^2$ est un polynôme et $f$ définie par $f(x)=x-\sqrt{x}$ n’est pas un polynôme. a la même limite à l’infini que son terme de plus haut degré.
Cette règle n’est valable que pour les limites en l’infini.
Soit $F$ la fraction rationnelle définie par $F(x)=\dfrac{4x^3+2x^2-7x+8}{4x^2-6x+9}$.
Nous avons : \[\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{4x^3}{4x^2}=\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty.\]Pour le démontrer, il suffit de mettre dans $f(x)$ au numérateur le terme $3x^4$ en facteur et au dénominateur le terme $4x^2$.
Nous avons :\[\begin{align*}F(x)&=\frac{4x^3+2x^2-7x+8}{4x^2-6x+9} \\&=\frac{4x^3\left(1+2\dfrac{1}x-7\dfrac{1}{x^2}+8\dfrac{1}{x^3}\right)} {4x^2\left(1-6\dfrac{1}x+9\dfrac{1}{x^2}\right)} \\&=x\frac{1+2\dfrac{1}x-7\dfrac{1}{x^2}+8\dfrac{1}{x^3}}{1-6\dfrac{1}x+9\dfrac{1}{x^2}}.\end{align*}\]Or, $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1+2\dfrac{1}x-7\dfrac{1}{x^2}+8\dfrac{1}{x^3}\right)=1$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-6\dfrac{1}x+9\dfrac{1}{x^2}\right)=1$.
Donc :\[\lim\limits_{x\to +\infty}F(x)=+\infty.\]
Nous pouvons dorénavant utiliser (sans revenir à la factorisation) la propriété sur la limite de fraction rationnelle en l’infini.
Toute fraction rationnelleUne fonction $F$ est une fonction fraction rationnelle (ou plus simplement une fraction rationnelle) s’il existe deux polynômes $P$ et $Q$ tels que pour tout $x$ de son ensemble de définition, $F(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$. a la même limite à l’infini que le quotient simplifié des termes de plus haut degré.
Cette règle n’est valable que pour les limites en l’infini.
Généralisons la méthode.
Le terme « dominant » d’une expression est « celui qui l’emporte » sur les autres (s’il existe), celui « qui donne la limite », les autres termes étant devant lui « négligeables ». Ces notions seront développées rigoureusement (mathématiquement) dans le cours de première année du supérieur.
Lorsqu’un terme dominant apparaît lors de l’étude d’une limite de fonction, l’idée pour obtenir cette limite est de le mettre en facteur.
Cette technique est utilisée pour une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$ ou $(+\infty)+(-\infty)$.
Mais elle ne fonctionne pas toujours : il faut qu’un terme dominant existe et il faut le trouver…
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^3-x^2$.
Etudier la limite de $f$ en $+\infty$.
Nous avons $\lim\limits_{x\to +\infty}x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}x^2=-\infty $. Dans le calcul de la limite de $f$ en $+\infty $, il apparaît donc la forme indéterminée $+\infty $-\infty $. Nous ne pouvons conclure directement.
Or, lorsque $x$ tend vers $+\infty$ (devient de plus en plus grand), $x^3$ devient de plus en plus grand devant $x^2$. Le terme dominant doit donc être $x^3$. Mettons ce terme en facteur dans $f(x)$ et regardons ce que cela devient.
Bien sûr, nous choisissons $x$ non nul (ce n’est pas gênant car nous étudions la limite en $+\infty$).\[\forall x\ne 0,\ f(x)=x^3\left(1-\frac{1}{x}\right).\]Or, $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{x} \right)=0$. Donc, $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\frac{1}{x} \right)=1$.
Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}{x^3}=+\infty$, nous en déduisons :\[\lim\limits_{x\to +\infty}{x^3}\left(1-\frac{1}{x} \right)=(+\infty)\times 1=+\infty.\]On en conclut :\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\]
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x-\sqrt{x}$.
Etudier la limite de $f$ en $+\infty$.
Dans le calcul de la limite de $f$ en $+\infty$, il apparaît donc la forme indéterminée $+\infty-\infty$. Nous ne pouvons conclure directement.Or, lorsque $x$ tend vers $+\infty$ (devient de plus en plus grand), $x$ devient de plus en plus grand devant $\sqrt{x}$. Le terme dominant doit donc être $x$.
Mettons ce terme en facteur dans $f(x)$ et regardons ce que cela devient. Bien sûr, nous choisissons $x$ non nul (ce n’est pas gênant car nous étudions la limite en $+\infty$).\[\forall x\ne 0,\ f(x)=x\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\right).\]Or, $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=0$.
Donc, $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=1$.
Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}x=+\infty$, nous en déduisons :\[\lim\limits_{x\to +\infty} x\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}} \right)=(+\infty)\times 1=+\infty.\]On en conclut :\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.\]
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2-x\sin(x)$.
Etudier la limite de $f$ en $+\infty$.
Nous ne pouvons conclure directement.
Le terme dominant doit donc être $x^2$. Mettons ce terme en facteur dans $f(x)$ et regardons ce que cela devient. Bien sûr, nous choisissons $x$ non nul (ce n’est pas gênant car nous étudions la limite en $+\infty$).
\[\forall x\ne 0,\ f(x)=x^2\left(1-\frac{\sin(x)}{x}\right).\]Or, $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{\sin(x)}{x} \right)=0$ car par exemple, $\forall x\ne 0,\left|\dfrac{\sin(x)}{x} \right|\le \dfrac{1}{|x|}$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{|x|}=0$.
Donc, $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac{\sin(x)}{x}\right)=1$.
Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}{x^2}=+\infty$, nous en déduisons :\[\lim\limits_{x\to +\infty}{x^2}\left(1-\frac{\sin(x)}{x}\right)=(+\infty)\times 1=+\infty.\]On en conclut :\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.\]
Utilisation de l’expression conjuguéeL’expression conjuguée de $a+b$ est $a-b$. A ne pas confondre lorsque nous travaillons dans l’ensemble des nombres complexes au conjugué d’un nombre complexe (bien que les définitions soient similaires).
Nous expliquerons la méthode de l’expression conjugué au travers de l’activité suivante ou nous rencontrerons la FI $\dfrac 00$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x^2}$.
Etudions sa limite en $0$.
Elle se présente sous la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$.
Nous allons multiplier et diviser $f(x)$ par l’expression conjuguée du numérateur, c’est-à-dire nous allons multiplier et diviser $f(x)$ par $\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)$.
Nous obtenons :\[\begin{align*}f(x)&=\frac{\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right)\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)}{{x^2}\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)} \\&=\frac{(1+x)-(1-x)}{{x^2}\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)} \\&=\frac{2}{{x^2}\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)}\end{align*}\]Le numérateur ayant pour limite $2$ en $0$ et le dénominateur $0^+$ en $0$, cette dernière forme ne pose pas de problème., et donc :\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)=+\infty.\]
Utilisation de la définition du nombre dérivé
Bien sûr, la notion de dérivée doit être connue…
Cette méthode s’utilise dans le cas de la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$ et pour laquelle nous reconnaissons la limite en $x_0$ du taux d’accroissement en $x_0$ d’une fonction $f$ dérivable en $x_0$.
Nous illustrerons cette technique par avec l’activité suivante.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{\cos(x-1)}{x}$.
Etudions la limite de $f$ en $0$.
Elle est de la forme $\dfrac{0}{0}$. Nous reconnaissons :\[f(x)=\frac{\cos(x)-\cos(0)}{x-0}.\]Donc,\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos(x)-\cos(0)}{x-0}=\cos'(0)=-\sin(0)=0.\]