Ne disposant pas à notre niveau de définitions mathématiquement satisfaisantes, nous admettrons les résultats suivants (qui ne posent par ailleurs pas de problème de compréhension). Ils seront démontrés en post-baccalauréat.
Les fonctions $f$ et $g$ ayant une limite (finie ou infinie), la fonction $f+g$ admet une limite dans chacun des cas suivant :\[\begin{array}{c|c|c|c}\lim{g}\diagdown\lim{f} & -\infty & \ell\in\R & +\infty \\\hline-\infty & -\infty & \text{FI} & -\infty \\\hline\ell^\prime\in\R & -\infty & \ell+\ell^\prime & +\infty \\\hline+\infty & \text{FI} & +\infty & +\infty\end{array}\]FI signie « Forme Indeterminée », voir partie ci-après.
$f$ est la fonction définie par $f(x)=x^2$ et $g$ est la fonction définie par $g(x)=\cos(x)$.
Nous avons :\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1.\]Donc,\[\lim\limits_{x\to 0}x^2+\cos(x)=0+1=1.\]
Les fonctions $f$ et $g$ ayant une limite (finie ou infinie), la fonction $f\times g$ (notée aussi $fg$) admet une limite dans chacun des cas suivant :\[\begin{array}{c|c|c|c}\lim{g}\diagdown\lim{f} & -\infty & \ell\in\R^* & +\infty \\\hline-\infty & +\infty & \pm\infty & -\infty \\\hline\ell^\prime\in\R^* & \pm\infty & \ell\times\ell^\prime & \pm\infty \\\hline+\infty & -\infty & \pm\infty & +\infty\end{array}\]
Si $f$ et $g$ ont une limite dont l’une est nulle et l’autre infinie, il s’agit d’une Forme Indéterminée (voir partie ci-après).
$f$ est la fonction définie par $f(x)=x^2$ et $g$ est la fonction définie par $g(x)=\cos(x)$.
Nous avons :\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1.\]Donc,\[\lim\limits_{x\to 0}\;x^2\cos(x)=0\times 1=0.\]
Les fonctions $f$ et $g$ ayant une limite (finie ou infinie), la fonction $\dfrac{f}{g}$ admet une limite dans chacun des cas décrits dans chacun des cas suivant :\[\begin{array}{c|c|c|c}\lim{g}\diagdown\lim{f} & -\infty & \ell\in\R & +\infty \\\hline-\infty & 0 & \text{FI} & \text{FI} \\\hline\ell^\prime\in\R^* & \pm\infty & \dfrac{\ell}{\ell^\prime} & \pm\infty \\\hline+\infty & 0 & \text{FI} & \text{FI}\end{array}\]FI signie « Forme Indeterminée », voir partie ci-après.
Si $\ell^\prime=0$, on peut conclure lorsque $g$ garde un signe constant voisinage du « point » où l’on cherche la limite :
- si $g(x)\gt 0$, alors $\dfrac{1}{g(x)}$ tend vers $+\infty$ ;
- si $g(x)\lt 0$, alors $\dfrac{1}{g(x)}$ tend vers $-\infty$.
$f$ est la fonction définie par : $f(x)=x^2$ et $g$ est la fonction définie par : $g(x)=\cos(x)$.
Nous avons :\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1.\]Donc,\[\lim\limits_{x\to 0}\;\dfrac{x^2}{\cos(x)}=\dfrac{0}{1}=0.\]
Les situations marquées précédemment FI sont appelées (de façon significative) « formes indéterminées ». Elles n’ont pas de sens en soi. Nous pouvons les rencontrer lors de calcul de limite. Elles sont classiquement au nombre de 4 :\[\infty-\infty,\ 0\times \infty,\ \dfrac{0}{0}\text{ et }\dfrac{\infty}{\infty}.\]Lorsqu’en étudiant une limite, on trouve une forme indéterminée, nous ne pouvons en déduire directement le résultat. Il faut lever l’indétermination. Le résultat peut être un réel ($0$, $2$, $\pi$, …), $+\infty$, $-\infty $, la limite peut ne pas exister… Nous allons voir dans le cours suivant quelques exemples de cela et quelques méthodes pour y arriver.
Dans les autres cas, c’est-à-dire lorsque nous ne trouvons pas de forme indéterminée, alors les tableaux précédents et les règles de calcul nous permettent d’obtenir le résultat.
On peut ajouter deux autres formes indéterminées : $1^{\infty}$ et $0^0$. Ces formes se ramènent à la forme $0\times \infty$ en prenant l’écriture exponentielle.