Quelques limites classiques | eMaths

Voici quelques limites utiles à connaître pour la suite :

PropriétéLimites de fonction classique

Si $f(x)=x$ , $x^2$ , $x^3$ ou $\sqrt{x}$ , alors : $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.$
Si $f(x)=\dfrac{1}{x}$ , $\dfrac{1}{x^2}$ , $\dfrac{1}{x^3}$ ou $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ alors : $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0.$
Si $f(x)=x$ , $x^2$ , $x^3$ , $\sqrt{x}$ ou $\sin(x)$ , alors : $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0.$
Si $f(x)=\cos(x)$ , alors : $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=1.$

Propriété

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}x=1$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x^2}=\dfrac{1}{2}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}x=1$ (Attention : les fonctions de référence (ln, exp) doivent être connues).
$\lim{x\to 0}\frac{e^x-1}x=1$ (Attention : les fonctions de référence (ln, exp) doivent être connues).

Les limites #1, #3 et #4 s’obtiennent en passant par un taux de variations et en utilisant la notion de fonction dérivée.
Pour la limite #2, nous obtenons la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . Nous levons l’indétermination en multipliant le numérateur et le dénominateur du quotient par $(1+\cos x)$ : $\forall x\ne 0,\ f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}=\frac{1-\cos^2x}{{x^2}(1+\cos x)}=\frac{\sin^2x}{{x^2}(1+\cos x)}=\frac{1}{1+\cos x}{{\left(\frac{\sin x}{x} \right)}^2}.$ Or, $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}x=1$ et $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{1+\cos x}=\dfrac{1}{2}$ .

Chapitre 6Limites

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