Voici quelques limites utiles à connaître pour la suite :
PropriétéLimites de fonction classique
- Si $f(x)=x$, $x^2$, $x^3$ ou $\sqrt{x}$, alors :\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.\]
- Si $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{x^2}$, $\dfrac{1}{x^3}$ ou $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ alors :\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0.\]
- Si $f(x)=x$, $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$ ou $\sin(x)$, alors :\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0.\]
- Si $f(x)=\cos(x)$, alors :\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)=1.\]
Propriété
- $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}x=1$
- $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x^2}=\dfrac{1}{2}$
- $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}x=1$ (Attention : les fonctions de référence (ln, exp) doivent être connues).
- $\lim{x\to 0}\frac{e^x-1}x=1$ (Attention : les fonctions de référence (ln, exp) doivent être connues).
Voir la preuve
Les limites #1, #3 et #4 s’obtiennent en passant par un taux de variations et en utilisant la notion de fonction dérivée.Pour la limite #2, nous obtenons la forme indéterminée $\frac{0}{0}$. Nous levons l’indétermination en multipliant le numérateur et le dénominateur du quotient par $(1+\cos x)$ :\[\forall x\ne 0,\ f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}=\frac{1-\cos^2x}{{x^2}(1+\cos x)}=\frac{\sin^2x}{{x^2}(1+\cos x)}=\frac{1}{1+\cos x}{{\left(\frac{\sin x}{x} \right)}^2}.\]Or, $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}x=1$ et $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{1+\cos x}=\dfrac{1}{2}$.