Chapitre 18Déterminants

1. Cela découle de la définition en utilisant des propriétés des permutations admises.Il s’agit de démontrer que : $$\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon_{\sigma}a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon_{\sigma}a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}.$$ Les produits apparaissant dans ces deux sommes sont les mêmes. Plus précisément, pour chaque permutation $\sigma$, on peut considérer la permutation inverse $\sigma^{-1}$ et on a : $$a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}=a_{1\sigma^{-1}(1)}\cdots a_{n\sigma^{-1}(n)}.$$ Et comme $\sigma$ et $\sigma^{-1}$ ont toujours la même signature, le signe attribué à ces deux termes est le même dans chaque somme.Finalement, on peut en déduire $\det(A)=\det({}^tA)$.
2. Cela découle encore de la définition . $$\begin{align*}\det(\lambda A)&=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon_{\sigma}\lambda a_{\sigma(1)1}\cdots \lambda a_{\sigma(n)n} \\&=\lambda^n\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon_{\sigma} a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n} \\&=\lambda^n\det(A).\end{align*}$$
3. On utilise ici la définition du déterminant d’une famille de vecteurs.
   Soient $A$ et $B$ dans $\Mc_n(\K)$. Notons $C_1,\ldots, C_n$ les colonnes de $B$. Les colonnes de $AB$ sont alors les vecteurs $AC_1,\ldots, AC_n$.
   Regardons l’application $B\mapsto \det(AB)$. On peut la voir comme l’application de $E^n$ vers lui-même $\psi : (C_1,\ldots, C_n)\mapsto \det(AC_1,\ldots, AC_n)$. L’application $V\mapsto AV$ est linéaire (c’est l’endomorphisme de $E$ de matrice $A$). Il est facile d’en déduire que l’application $\psi$ est multilinéaire alternée comme le déterminant. Or on sait qu’une telle application est unique à un coefficient de proportionnalité près.
   Donc $\psi$ est un multiple de l’application $\det$ : $$\exists\;\lambda\in \K,~ \psi=\lambda\det.$$ Autrement dit, $\forall B\in\Mc_n(K), \det(AB)=\lambda\det(B)$. En particulier, si $B=I_n$, on obtient $\det(A)=\lambda\det(I_n)=\lambda$.
   Finalement, on a démontré : $$\det(AB)=\det(A)\det(B).$$

• Supposons $A$ inversible. Alors $\det(AA^{-1})=\det(I_n)=1$.
  Et d’autre part $\det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1})$. Donc $\det(A)\det(A^{-1})=1$.
  On en déduit que $\det(A)\neq 0$ et $\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}$.
  
• Démontrer la réciproque revient à résoudre un système linéaire avec la méthode de Cramer. Nous détaillerons cela dans la dernière partie en définissant une matrice $\com(A)$ appelée comatrice de $A$. Si $\det(A)\neq 0$, nous pourrons définir la matrice $B=\dfrac{1}{\det(A)}{}^t\com(A)$ et montrer que $AB=I_n$. Enfin, nous montrerons que $A$ est inversible, d’inverse $B$.

• Les trois premiers points sont des conséquences immédiates de la multilinéarité du déterminant.
• Détaillons le troisième point sur un exemple.
  comme ${\det}_{\mathcal B}$ est linéaire par rapport à la première variable $${\det}_{\mathcal B}(v_1+3v_2-v_3,v_2,\ldots ,v_n)=\\\quad{\det}_{\mathcal B}(v_1,v_2,\ldots ,v_n)+3{\det}_{\mathcal B}(v_2,v_2,\ldots ,v_n) -{\det}_{\mathcal B}(v_3,v_2,\ldots ,v_n).$$ Or, d’après la seconde propriété $${\det}_{\mathcal B}(v_2,v_2,\ldots ,v_n)=-{\det}_{\mathcal B}(v_2,v_2,\ldots ,v_n)$$ en échangeant les deux premiers vecteurs. Donc ${\det}_{\mathcal B}(v_2,v_2,\ldots ,v_n)=0$ et de même ${\det}_{\mathcal B}(v_3,v_2,v_3,\ldots ,v_n)=0$.Finalement il reste $${\det}_{\mathcal B}(v_1+3 v_2- v_3,v_2,\ldots ,v_n)={\det}_{\mathcal B}(v_1,v_2,v_3,\ldots ,v_n).$$
• Démontrons le dernier point.
  Supposons que $\mathcal F$ est une base de $E$. On peut donc considérer le déterminant dans cette base. Alors les applications ${\det}_{\mathcal B}$ et ${\det}_{\mathcal F}$ sont deux formes multilinéaires alternées de $E$. Elles sont donc proportionnelles et $\exists \mu\in\K,~ {\det}_{\mathcal F}=\mu{\det}_{\mathcal B}$. En particulier ${\det}_{\mathcal F}(\mathcal F)=\mu{\det}_{\mathcal B}(\mathcal F)$.
  Or par définition ${\det}_{\mathcal F}(\mathcal F)=1$. On en déduit en particulier : $${\det}_{\mathcal B}(\mathcal F)\neq 0.$$ Supposons maintenant que $\mathcal F$ n’est pas une base. Comme elle possède $n$ vecteurs, il s’agit d’une famille liée. Il existe donc des scalaires $\lambda_i\in\K$ non tous nuls tels que $\sum_{i=1}^n\lambda_iv_i=0$. Notons $\lambda_j$ l’un des $\lambda_i$ non nul et quitte à multiplier l’égalité par son inverse, on peut supposer $\lambda_j=1$.Alors, d’après la propriété précédente, le déterminant de la famille $\mathcal F$ est inchangé si on remplace $v_j$ par $v_j+\sum_{i\neq j}\lambda_iv_i=0$.
  Ainsi, en utilisant ensuite la première propriété : $${\det}_{\mathcal B}(v_1,\ldots,v_j,\ldots,v_n)={\det}_{\mathcal B}(v_1,\ldots,0,\ldots,v_n)=0.$$

Toutes ces propriétés découlent des propriétés matricielles du déterminant.