Chapitre 18Déterminants

ExercicesNiveau 1 : calculs

ExerciceSavoir calculer rapidement des déterminants simples

Les déterminants ci-dessous sont faciles à calculer. Essayer de les obtenir en moins d’une minute chacun.\[\begin{align*}D_1&=\begin{vmatrix}7&3 \\5&1\end{vmatrix}, &D_2&=\begin{vmatrix}20&70 \\3&4\end{vmatrix}, &D_3&=\begin{vmatrix}1&3&0 \\2&1&0 \\7&5&2\end{vmatrix}, \\ \\D_4&=\begin{vmatrix}1&1&2 \\0&1&1 \\1&0&1\end{vmatrix}, &D_5&=\begin{vmatrix}4&0&0 \\8&2&0 \\6&4&2\end{vmatrix}, &D_6&=\begin{vmatrix}0&1&0 \\3&2&1 \\0&3&2\end{vmatrix}, \\ \\D_7&=\begin{vmatrix}0&0&1 \\0&1&0 \\1&0&0\end{vmatrix}, &D_8&=\begin{vmatrix}7&0&0&0 \\0&1&0&0 \\0&0&4&0 \\0&0&0&3\end{vmatrix}, &D_9&=\begin{vmatrix}1&1&1&1 \\1&1&2&3 \\1&1&1&2 \\2&2&2&2\end{vmatrix}, \\ \\D_{10}&=\begin{vmatrix}0&0&0&1 \\0&0&1&0 \\0&1&0&0 \\1&0&0&0\end{vmatrix}, &D_{11}&=\begin{vmatrix}0&0&0&1&0 \\0&2&0&0&0 \\0&0&3&0&0 \\2&0&0&0&0 \\0&0&0&0&1\end{vmatrix}, &D_{12}&=\begin{vmatrix}3&0&4&9&1&0 \\2&2&2&2&2&2 \\0&0&1&1&5&6 \\0&0&2&3&0&4 \\0&0&0&0&5&0 \\0&0&0&0&7&2\end{vmatrix}.\end{align*}\]

Indications :
Pour calculer ces déterminants rapidement, il faut savoir calculer un déterminant $2\times 2$ et un déterminant $3\times 3$ avec la règle de Sarrus, reconnaître des matrices triangulaires ou triangulaires par blocs, remarquer des relations entre les lignes ou les colonnes d’une matrice et penser à échanger des lignes d’une matrice.

Les résultats dans l’ordre sont :\[\begin{align*}D_1&=-8, &D_2&=-130, &D_3&=-10, \\ \\D_4&=0, &D_5&=16, &D_6&=-6, \\ \\D_7&=-1, &D_8&=84, &D_9&=0, \\ \\D_{10}&=1, &D_{11}&=-12, &D_{12}&=60\end{align*}\]

Exercice

Calculer les déterminants ci-dessous :\[\begin{align*}D_1&=\begin{vmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&\hphantom{-}\frac{1}{\sqrt{2}}&\hphantom{-}\frac{1}{\sqrt{6}} \\\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\hphantom{-}\frac{1}{\sqrt{6}} \\\frac{1}{\sqrt{3}}&\hphantom{-}0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\end{vmatrix}, \\\\D_2&=\begin{vmatrix}4&3&2&1 \\1&4&3&2 \\ 2&1&4&3 \\ 3&2&1&4\end{vmatrix}.\end{align*}\]

Indications :
On pourra commencer par factoriser un terme dans chaque colonne pour $D_1$ et faire la somme de toutes les lignes pour $D_2$.

  • Calculons $D_1$.\[D_1=\begin{vmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&\hphantom{-}\frac{1}{\sqrt{2}}&\hphantom{-}\frac{1}{\sqrt{6}} \\\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\hphantom{-}\frac{1}{\sqrt{6}} \\\frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\end{vmatrix}=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{vmatrix}1&\hphantom{-}1&\hphantom{-}1 \\1&-1&\hphantom{-}1 \\1&\hphantom{-}0&-2\end{vmatrix}\]Puis en développant par rapport à la dernière ligne :\[D_1=\frac{1}{6}\left(1\begin{vmatrix}\hphantom{-}1&1\\-1&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}1&\hphantom{-}1\\1&-1\end{vmatrix}\right)=\frac{1}{6}(2+4)=1.\]Ce résultat s’explique facilement géométriquement. Les 3 vecteurs colonnes de la matrice sont de norme 1 et sont 2 à 2 orthogonaux. Ils forment donc un repère orthonormé et le parallélépipède rectangle associé est un cube d’arête 1. Son volume est 1 et le déterminant est donc $\pm 1$. Comme le repère est de plus direct, le signe est positif.
  • Calculons $D_2$, en commençant par effectuer l’opération $L_1\leftarrow L_1+L_2+L_3+L_4$ : \[D_2=\begin{vmatrix}10&10&10&10 \\1&4&3&2 \\2&1&4&3 \\3&2&1&4\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&4&3&2 \\2&1&4&3 \\3&2&1&4\end{vmatrix}.\]Faisons apparaître des $0$ sur la première ligne avec les opérations $C_i\leftarrow C_i-C_1$ :\[D_2=10\begin{vmatrix}1&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0&0 \\1&\hphantom{-}3&\hphantom{-}2&1 \\2&-1&\hphantom{-}2&1 \\3&-1&-2&1\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}\hphantom{-}3&\hphantom{-}2&1 \\-1&\hphantom{-}2&1 \\-1&-2&1\end{vmatrix}.\]Exploitons les $1$ de la dernière colonne. Plaçons-les en colonne 1 en faisant $C_1\leftrightarrow C_3$ puis effectuons $L_i\leftarrow L_i-L_1$ :\[D_2=-10\begin{vmatrix}1&\hphantom{-}2&\hphantom{-}3 \\1&\hphantom{-}2&-1 \\1&-2&-1\end{vmatrix}=-10\begin{vmatrix}1&\hphantom{-}2&\hphantom{-}3 \\0&\hphantom{-}0&-4 \\0&-4&-4\end{vmatrix}=-10\begin{vmatrix}\hphantom{-}0&-4 \\-4&-4\end{vmatrix}.\]Finalement :\[D_2=(-10)\times(-16)=160.\]
Exercice

Soit $n\geqslant 1$. Calculer : \[D=\begin{vmatrix} 1&1&1&1&\cdots&\cdots&1 \\2&1&2&2&\cdots&\cdots&2 \\3&3&1&3&\cdots&\cdots&3 \\4&4&4&1&\ddots&&4 \\ \vdots & && \ddots &\ddots &\ddots&\vdots \\ n-1&\cdots &\cdots& \cdots &n-1&1&n-1 \\n&\cdots&\cdots&\cdots&n&n&1\end{vmatrix}\]

Indications :
Faire apparaître des $0$ sur la première ligne.

On effectue les opérations $C_i\leftarrow C_i-C_1$ pour $i\geqslant 2$.\[\begin{align*}D&=\begin{vmatrix} 1&1&1&1&\cdots&\cdots&1 \\2&1&2&2&\cdots&\cdots&2 \\3&3&1&3&\cdots&\cdots&3 \\4&4&4&1&\ddots&&4 \\ \vdots & && \ddots &\ddots &\ddots&\vdots \\ n-1&\cdots &\cdots& \cdots &n-1&1&n-1 \\n&\cdots&\cdots&\cdots&n&n&1\end{vmatrix} \\\\&=\begin{vmatrix} 1&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0&\cdots&\cdots&0 \\2&-1&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0&\cdots&\cdots&0 \\3&\hphantom{-}0&-2&\hphantom{-}0&\cdots&\cdots&0 \\4&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0&-3&\ddots&&0 \\ \vdots &\hphantom{-}\vdots && \ddots &\ddots &\ddots&\vdots \\ n-1&\hphantom{-}0 &\hphantom{-}\cdots& \hphantom{-}\cdots &0&-(n-2)&0 \\n&\hphantom{-}0&\hphantom{-}\cdots&\hphantom{-}\cdots&0&0&-(n-1)\end{vmatrix}\end{align*}\]

La matrice obtenue est triangulaire inférieure et son déterminant est alors le produit des coefficients diagonaux. Donc, on a :\[D=1\!\times\!(-1)\times(-2)\times(-3)\!\times\cdots\times-(n-1)=(-1)^{n-1} (n-1)!\]

Exercice

Calculer les déterminants suivants\[\begin{align*}&D_1=\begin{vmatrix}3&1&2 \\7&0&1 \\1&5&5\end{vmatrix}, &D_2&=\begin{vmatrix}1&2&3&4 \\5&6&7&8 \\9&8&7&6 \\5&4&3&2\end{vmatrix}, \\\\&D_3=\begin{vmatrix}2&0&6&7 \\4&6&2&8 \\1&1&3&5 \\9&8&2&5\end{vmatrix}, &D_4&=\begin{vmatrix}1&-1&1&-1&1 \\2&4&2&4&8 \\3&6&9&12&15 \\4&-8&4&-8&4 \\5&10&15&10&5\end{vmatrix}.\end{align*}\]

$D_1=21$, $D_2=0$, $D_3=-20$, $D_4=1440$.

Remarque

L’idéal pour s’entraîner est de se donner des matrices quelconques et d’en calculer les déterminants.
On pourra ensuite vérifier ses résultats avec un logiciel ou une application webLe site www.wolframalpha.com permet ce genre de calcul. Par exemple, la première matrice du précédent exercice serait définie par $\bigl[[3,1,2],[7,0,1],[1,5,5]\bigr]$ ; le site renvoie, entre autres, son déterminant..

Exercice

Soit $v_1=(-2,2,1)$, $v_2=(1,3,0)$, $v_3=(0,2,-2)$ des vecteurs de $\R^3$ et $\mathcal F$ la famille $(v_1,v_2,v_3)$.

  1. Calculer le déterminant de la famille $\mathcal F$
    • dans la base canonique $\mathcal B_0$ de $\R^3$ ;
    • dans la base $\mathcal F$ ;
    • dans la base $\mathcal B=\bigl((1,1,0),(-1,1,0),(0,0,1)\bigr)$.
  2. Vérifier qu’on obtient bien $\det_{\mathcal B_0}\mathcal F=\det_{\mathcal B_0}\mathcal B \times \det_{\mathcal B}\mathcal F$.
  3. Vérifier également que $\det_{\mathcal B_0}\mathcal B=\frac{1}{\det_{\mathcal B}\mathcal B_0}$, $\det_{\mathcal B_0}\mathcal F=\frac{1}{\det_{\mathcal F}\mathcal B_0}$ et $\det_{\mathcal B}\mathcal F=\frac{1}{\det_{\mathcal F}\mathcal B}$.

Indications :
Il faut commencer par déterminer les coordonnées des vecteurs $v_i$ dans la base choisie puis construire la matrice associée.

    • La matrice de $\mathcal F$ dans la base canonique est simplement $\begin{pmatrix} -2&1&\hphantom{-}0\\\hphantom{-}2&3&\hphantom{-}2\\\hphantom{-}1&0&-2 \end{pmatrix}$. Donc \[{\det}_{\mathcal B_0}\mathcal F=\begin{vmatrix} -2&1&\hphantom{-}0\\\hphantom{-}2&3&\hphantom{-}2\\\hphantom{-}1&0&-2\end{vmatrix}=18.\]
    • Par définition du déterminant $\det_{\mathcal F}\mathcal F=1$.
    • Déterminons les coordonnées des $v_i$ dans la base $\mathcal B$ :\[\begin{align*}v_1&=2\begin{pmatrix}-1\\\hphantom{-}1\\\hphantom{-}0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, \\\\v_2&=2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\\hphantom{-}1\\\hphantom{-}0\end{pmatrix}, \\\\v_3&=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\\hphantom{-}1\\\hphantom{-}0\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.\end{align*}\] La matrice associée à la famille $\mathcal F$ dans la base $\mathcal B$ est donc $\begin{pmatrix} 0&2&\hphantom{-}1\\2&1&\hphantom{-}1\\1&0&-2 \end{pmatrix}$.
      D’où :\[{\det}_{\mathcal B}\mathcal F=\begin{vmatrix} 0&2&\hphantom{-}1\\2&1&\hphantom{-}1\\1&0&-2\end{vmatrix}=9.\]
  2. On a :\[{\det}_{\mathcal B_0}\mathcal B=\begin{vmatrix} 1&-1&0\\1&\hphantom{-}1&0\\0&\hphantom{-}0&1\end{vmatrix}=2.\] Comme $18=2\times 9$, on obtient bien $\det_{\mathcal B_0}\mathcal F=\det_{\mathcal B_0}\mathcal B \times \det_{\mathcal B}\mathcal F$.Cette formule, vue dans une des preuves du cours, est vraie en toute généralité, quelque soient les bases $\mathcal B_0, \mathcal B, \mathcal F$. Elle découle du fait que la matrice d’une base $\mathcal B_1$ dans une base $\mathcal B_3$ est égale au produit de la matrice de $\mathcal B_2$ dans $\mathcal B_3$ par la matrice de $\mathcal B_1$ dans $\mathcal B_2$.
  3. Si on applique la formule précédente en prenant $\mathcal F=\mathcal B_0$, on obtient $\det_{\mathcal B_0}\mathcal B_0=\det_{\mathcal B_0}\mathcal B \times \det_{\mathcal B}\mathcal B_0$. Comme $\det_{\mathcal B_0}\mathcal B_0=1$ on en déduit $\det_{\mathcal B_0}\mathcal B=\frac{1}{\det_{\mathcal B}\mathcal B_0}$. Cette formule est là encore vraie en toute généralité et découle du fait que la matrice de $\mathcal B$ dans $\mathcal B_0$ est l’inverse de la matrice de $\mathcal B_0$ dans $\mathcal B$.
    Vérifions-la sur nos exemples. Après avoir déterminé les coordonnées des vecteurs de la base canonique dans la base $\mathcal B$, on obtient la matrice associée :\[\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0 \\\frac{1}{2}&\hphantom{-}\frac{1}{2}&0 \\0&\hphantom{-}0&\hphantom{-}1\end{pmatrix}.\]En calculant son déterminant on obtient $\det_{\mathcal B}\mathcal B_0=\frac{1}{2}$. Comme $\det_{\mathcal B_0}\mathcal B=2$, on a bien $\det_{\mathcal B_0}\mathcal B=\frac{1}{\det_{\mathcal B}\mathcal B_0}$.
    De même la matrice associée à la base $\mathcal B_0$ dans la base $\mathcal F$ est :\[\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{9}&\hphantom{-}\frac{1}{9} \\\hphantom{-}\frac{1}{3}&\frac{2}{9}&\hphantom{-}\frac{2}{9} \\-\frac{1}{6}&\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{pmatrix}.\]En calculant son déterminant on obtient $\det_{\mathcal F}\mathcal B_0=\frac{1}{9}$. En calculant son déterminant on obtient $\det_{\mathcal F}\mathcal B_0=\frac{1}{18}$. Comme $\det_{\mathcal B_0}\mathcal F=18$, on a bien $\det_{\mathcal B_0}\mathcal F=\frac{1}{\det_{\mathcal F}\mathcal B_0}$.
    Enfin la matrice associée à la base $\mathcal B$ dans la base $\mathcal F$ est :\[\begin{pmatrix}-\frac{2}{9}&\hphantom{-}\frac{4}{9}&\hphantom{-}\frac{1}9 \\\hphantom{-}\frac{5}{9}&-\frac{1}{9}&\hphantom{-}\frac{2}{9} \\-\frac{1}{9}&\hphantom{-}\frac{2}{9}&-\frac{4}{9}\end{pmatrix}.\]En calculant son déterminant on obtient $\det_{\mathcal F}\mathcal B=\frac{1}{9}$. Comme $\det_{\mathcal B}\mathcal F=9$, on a bien $\det_{\mathcal B}\mathcal F=\frac{1}{\det_{\mathcal F}\mathcal B}$.

ExerciceVrai ou faux
  1. Le déterminant d’une somme de matrices est égal à la somme des déterminants des matrices.
  2. Le déterminant d’un produit de matrices est égal au produit des déterminants des matrices.
  3. L’application définie de $\mathcal M_2(\R)$ vers $\R$ par $M\mapsto \det(M)$ est une bijection.
  4. Les opérations suivantes laissent le déterminant d’une matrice invariant :
    • $L_1\leftarrow 2L_1-L_2$ ;
    • $C_1\leftarrow C_1-2C_2$ ;
    • $L_2\leftarrow L_2+C_1$ ;
    • $C_1\leftrightarrow C_2$ ;
  1. Faux.
  2. Vrai.
  3. Faux. L’application est surjective mais pas injective : des matrices distinctes peuvent avoir le même déterminant.
  4. Les opérations suivantes laissent le déterminant d’une matrice invariant :
    • Faux. Cette opération multiplie le déterminant par $2$.
    • Vrai.
    • Faux. Cette opération est illicite.
    • Faux. Cette opération change le signe du déterminant.
Exercice

Soit $n\in\N^*$ et considérons les déterminants ci-dessous de taille $n\times n$. Déterminer leur expression en fonction de $n$.
On pourra commencer par déterminer leurs valeurs pour $n=1,2,3$ puis on essaiera d’établir une relation de récurrence.\[\begin{align*}A_n&=\begin{vmatrix} 1&1&1&1&\cdots&\cdots&1 \\1&2&2&2&\cdots&\cdots&2 \\ 1&2&3&3&\cdots&\cdots&3 \\ 1&2&3&4&\cdots&\cdots&4 \\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&&\vdots \\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&n-1&n-1 \\1&2&3&4&\cdots&n-1&n\end{vmatrix},&B_n&=\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1 \\1&2&1& &\vdots \\ 1&1&2&\ddots&\vdots \\ \vdots&&\ddots&\ddots&1 \\1&\cdots&\cdots &1&2\end{vmatrix}, \\\\C_n&=\begin{vmatrix} 0&1&1&\cdots&1 \\-1&0&1& &\vdots \\ -1&-1&0&\ddots&\vdots \\ \vdots&&\ddots&\ddots&1 \\-1&\cdots&\cdots &-1&0\end{vmatrix}, &D_n&=\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1 \\1&1&0&\cdots&0 \\ 1&0&1&\ddots&\vdots \\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0 \\1&0&\cdots &0&1\end{vmatrix} \\\\E_n&=\begin{vmatrix} 1 & -1& 0 &\cdots&\cdots&\cdots&0 \\1 & 1& -1&\ddots& & &\vdots \\ 0 & 1& 1&\ddots&\ddots& &\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\\vdots& &\ddots&\ddots& 1& -1 &0 \\\vdots& & &\ddots& 1& 1 &-1 \\0 &\cdots&\cdots&\cdots& 0& 1 &1\end{vmatrix},&F_n&=\begin{vmatrix} 2&1&1&\cdots&1 \\1&2&1& &\vdots \\ 1&1&2&\ddots&\vdots \\ \vdots&&\ddots&\ddots&1 \\1&\cdots&\cdots &1&2\end{vmatrix}\end{align*}\]

Indications :

  • Soustraire la ligne 1 de $A_n$ à chacune des autres.
  • Soustraire la ligne 2 de $B_n$ à la première.
  • Ajouter les colonnes 1 et $n$ de $C_n$ puis les lignes 1 et $n$.
  • Développer $D_n$ par rapport à la dernière colonne.
  • Développer $E_n$ par rapport à la première ligne.
  • Le déterminant $F_n$ ressemble beaucoup à $B_n$.
  • $A_n=A_{n-1}$ et $A_1=1$, donc $\forall n,A_n=1$.
  • $B_n=B_{n-1}$ et $B_1=1$, donc $\forall n,B_n=1$.
  • $C_n=C_{n-2}$ et $C_1=0,C_2=1$, donc $\forall n$ pair, $C_n=1$ et $\forall n$ impair, $C_n=0$.
  • $D_n=D_{n-1}-1$ et $D_1=1$ donc $\forall n,D_n=2-n$.
  • $E_{n}=E_{n-1}+E_{n-2}$ et $E_1=1, E_2=2$. On reconnaît (avec un décalage d’indice) la suite de Fibonacci.
  • $F_n=F_{n-1}+B_{n-1}=F_{n-1}+1$ et $F_1=2$ donc $\forall n,F_n=n+1$.