Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$. Elle est définie et continue sur $\R^*$. Comme elle n’est pas définie en $0$, son graphe admet « un trou » au point d’abscisse $0$. L’idée est alors de « boucher » ce trou.
Nous savons que $\lim\limits_{x\to 0}\ f(x)=1$. Nous allons alors « prolonger » la fonction en $0$, c’est-à-dire que nous allons donner une valeur à $f(0)$. Si nous donnons une valeur quelconque à $f(0)$, la fonction ainsi définie n’a pas de bonnes propriétés.Il parait plus naturel de poser $f(0)=1$ et ainsi de « boucher le trou ».
La fonction que nous obtenons alors est continue en $0$ et nous avons $\lim\limits_{x\to 0}\ f(x)=1=f(0)$.
L’opération que nous venons d’effectuer est appelée « prolongement par continuité » de $f$ en $0$.
De manière générale, nous poserons la définition suivante.
Soit $I$ un intervalle contenant $x_0$.
Soient $\ell$ un réel et $f$ une fonction définie sur $I$ sauf en $x_0$ et vérifiant $\lim\limits_{x\to x_0}\,f(x)=\ell$.
Alors, nous pouvons prolonger $f$ par continuité en $x_0$, c’est-à-dire que nous posons $f(x_0)=\ell$.
La fonction $f$ est alors définie et continue en $x_0$.
Soit $f$ la fonction définie par :\[f(x)=\begin{cases} &1 & \text{si $x\in ]-\infty,1[$} \\ &x & \text{si $x\in ]1,+\infty[$} \\\end{cases}\]Soit $g$ la fonction définie par :\[g(x)=\begin{cases}&1 & \text{si $x\in ]-\infty,1[$} \\&2 & \text{si $x=1$} \\&x & \text{si $x\in ]1,+\infty[$} \\\end{cases}\]La fonction $g$ n’est pas continue en $1$ car elle n’a pas de limite en ce réel.
Le problème de continuité ne se pose pas à priori sur $f$ en $1$ car $f$ n’est pas continue en ce réel (elle est non définie en $1$). Mais, $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=1$. Nous pouvons alors envisager de prolonger $f$ par continuité en $1$ en posant :\[\begin{cases} &f(x)=1 & \text{si $x\in ]-\infty,1[$} \\ &f(1)=\lim\limits_{x\to 1}f(x)=1 \\ &f(x)=x & \text{si $x\in ]1,+\infty[$}. \\\end{cases}\]La « nouvelle » fonction $f$ est alors définie et continue en $1$.
- En pratique, il y a très souvent intérêt à prolonger (lorsque cela est possible) une fonction par continuité car la fonction obtenue (étant continue) va satisfaire des théorèmes et propriétés facilitant l’étude mathématique.
- D’un point de vue rigueur mathématique, en procédant comme nous l’avons décrit, nous faisons un abus de notation. En effet, la fonction $f$ que nous prolongeons par continuité en $x_0$ n’est pas définie en ce réel. Lorsque nous la prolongeons par continuité, le domaine de définition de la fonction change et donc la fonction (mathématiquement parlant) change.
Nous devrions donc changer de notation. Dans ce cas, la notation alors utilisée habituellement est : $\overset{\sim}{f}$.
Usuellement, nous n’effectuons pas ce changement et nous continuons donc à appeler la fonction prolongée $f$. Cela peut s’expliquer par le fait qu’il s’agit d’une « opération naturelle ».