Le résultat fondamental de cette partie est le théorème des valeurs intermédiaires.
L’image d’un intervalle $I$ par une fonction continue est un intervalle.
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La démonstration est admise et sera développée dans le cours de première année après le baccalauréat.
La condition « fonction continue » est une condition suffisante pour que l’image d’un intervalle soit un intervalle. Cette condition n’est pas une condition nécessaire.
Par exemple, avec la fonction $f$ définie par $f(x)=x$ pour $x\in [0,2]$ et $f(x)=-x+6$ pour $x\in ]2,4]$, $f$ est discontinue en $2$ et l’image par $f$ de l’intervalle $[0,4]$ est l’intervalle $[0,4]$.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$.
Alors, $f$ prend toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$.
La démonstration est admise et sera développée dans le cours de première année après le baccalauréat.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ telle que $f(a)\lt 0\lt f(b)$. Alors il existe $c$ élément de $]a,b[$ tel que $f(c)=0$.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ et strictement monotone. Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation « $f(x)=k$ » admet une unique solution dans l’intervalle $[a,b]$.
La figure ci-dessous représente un cercle de rayon 1.Existe-t-il (au moins) une valeur de $x$ élément de $[0,\frac{\pi}{2}[$ les deux trajets $OAB$ et $AC$ ont-ils même longueur ?
- Mise en équation du problème
Le problème se ramène à résoudre l’équation « $\tan(x)=x+1$ » .Souvent, lors de l’étude d’équation, nous préférons nous ramener à une équation du type « $f(x)=0$ » (ou parfois « $g(x)=x$ »).
Dans notre cas, nous avons donc à étudier l’équation : $\tan(x)-x-1=0$.- Recherche d’une solution évidente
Sans succès.- Existence des solutions
Posons $f$ la fonction définie par : $f(x)=\tan(x)-x-1$.
$f$ est continue sur $[0,\dfrac{\pi}{2}[$ comme somme de fonctions continues. De plus, $f(0)=-1$ et $f(1,5)\simeq 11{,}6$.
Nous pouvons à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires en déduire que l’équation « $\tan(x)-x-1=0$ » admet au moins une solution comprise entre $0$ et $1{,}5$.
Pour localiser cette solution et en donner une valeur approchée, cette méthode sera revue et affiner à l’aide de la dérivation, du concept de bijection et avec les suites.
Avec la continuité, nous ne pouvons qu’affirmer qu’il existe au moins une solution (mais nous ne pouvons indiquer le nombre de ces solutions).