Chapitre 17Applications linéaires

Soient, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, et $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$ ($E=F\oplus G$).
On a donc : $$\forall u\in E,\ \exists !\,(u_F,u_G)\in F\times G\,\vert\, u=u_F+u_G.$$

On appelle projection sur $F$ parallèlement à $G$ l’application $p$ de $E$ dans $E$ définie par : $$p(u)=u_F.$$ Voir l'animation

On appelle symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ l’application $s$ de $E$ dans $E$ définie par : $$s(u)=u_F-u_G.$$

1. Les projections et les symétries sont des endomorphismes de $E$.
2. Une projection $p$ vérifie $p\circ p=p$ et une symétrie $s$ vérifie $s\circ s=\mathrm{Id}_E$.
3. $F=\Img(p)=\bigl\{x\in E\bigm\vert p(x)=x\bigr\}=\Ker(\mathrm{Id}_E-p)$, et $G=\Ker(p)=\Img(\mathrm{Id}_E-p)$.
4. $F=\Ker(s-\mathrm{Id}_E)=\Img(s+\mathrm{Id}_E)$, et $G=\Img(s-\mathrm{Id}_E)=\Ker(s +\mathrm{Id}_E)$.

Soit $p$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $p\circ p=p$. L’application $p$ est un projecteur.
On note $F=\Img(p)$ et $G=\Ker(p)$.
On a alors $E=F\oplus G$ et $p$ est la projection sur $F$ parallèlement à $G$.

Soit $s$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $s\circ s={\rm Id}_E$. L’application $s$ est une involution.
On note $F=\Ker(s-{\rm Id}_E)$ et $G=\Ker(s+{\rm Id}_E)$.
On a alors $E=F\oplus G$ et $s$ est la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$.