Théorème
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ élément de $\mathbb{N}$ et soit $f$ un élément de $\End(E)$.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
- $f$ est injective,
- $f$ est surjective,
- $f$ est bijective.
Voir la preuve
Nous allons démontrer que les points 1 et 2 sont équivalents, en utilisant le théorème du rang :\[\Dim(\Ker(f))+\rg(f)=\Dim(E).\]Ensuite, les équivalences des points 1, 2 et 3 seront immédiates.
- Montrons que $f$ est injective ⇒ $f$ est surjective.
Supposons $f$ injective. Donc, $\Ker(f)=\{0_E\}$.
Comme $E$ est de dimension finie, nous pouvons appliquer le théorème du rang.
Or, $\Dim(\Ker(f))=0$ et donc $\rg(f)=\Dim(E)$.
Or, $f$ est un endomorphisme de $E$. Donc, $\Im(f)$ est inclus dans $E$ et de même dimension.
Donc, $\Im(f)=E$ et ainsi nous avons démontré que $f$ est surjective.- Montrons que $f$ est surjective ⇒ $f$ est injective.
Supposons $f$ surjective. Donc, $\Im(f)=E$.
Comme $E$ est de dimension finie, nous pouvons appliquer le théorème du rang.
Or, $\Dim\bigl(\Im(f)\bigr)=\Dim(E)$ et donc, $\Dim\bigl(\Ker(f)\bigr)=0$.
Nous en déduisons que $\Ker(f)=\{0_E\}$.
Ainsi nous avons démontré que $f$ est surjective.