L’idée que nous allons développer est la suivante : une fonction sera dite continue si son graphe est « continue » c’est-à-dire « d’un seul morceau ».
Pour prendre une image, une fonction sera dite continue si nous pouvons tracer son graphe « sans lever le crayon ». Une réserve apparait de suite : si la fonction n’est pas définie sur un intervalle, son graphe ne peut être d’un seul tenant.
C’est le cas par exemple de la fonction suivante :\[f(x)=\begin{cases}&-2x&\text{si $x\le -1$} \\&2x-x^2&\text{si $x\ge 1$}\end{cases}\]C’est pour cela que la plupart des propriétés, théorèmes utilisant la continuité ont comme hypothèse que les fonctions sont définies sur des intervalles.
Problème : Comment, mathématiquement parlant, pouvons nous définir une telle notion ?
Nous allons étudier le cas où le graphe est « non continue » , « coupé » en $x_0$.Que se passe-t-il ?
Nous avons $\lim\limits_{\begin{aligned}x&\to -1^- \\x&\lt -1\end{aligned}}f(x)\ \ne \lim\limits_{\begin{aligned}x&\to -1^+ \\x&\gt -1\end{aligned}}f(x)$ ce qui entraîne que $\lim\limits_{x\to -1}f(x)$ n’existe pas. C’est cette dernière propriété qui fait la coupure dans le graphe de la fonction $f$.
Dans le cours suivant, nous introduirons la définition de la continuité d’une fonction $f$ en $x_0$.