La formule du binôme de Newton est basée sur la formule (et le triangle) de Pascal.
Origines
Blaise Pascal (1623-1662) est un philosophe de renom, auteur des célèbres « Pensées », mathématicien et physicien. Suite au décès de sa mère alors qu’il n’avait que 3 ans, il fut élevé et instruit par son père Étienne Pascal qui était aussi mathématicien reconnu.
Il fut très précoce et prolixe. Il mit entre autre au point à l’âge de 19 ans une machine à calculer : la Pascaline.
Ses principaux travaux concernent la Physique et en Mathématiques la théorie des probabilités. Pour ce qui nous concerne dans ce module, nous nous intéresserons aux formules de Pascal et au triangle de Pascal qui en découle. Pascal les décrit dans le « Traité du triangle arithmétique ».
Pascal n’est pas le premier mathématicien à rendre compte de ce triangle. Il a été décrit par Zhu Shijie (1270-1330) en 1303 dans son livre « Miroir précieux des quatre éléments ». Dans ce livre, Zhu Shijie présente le triangle comme une méthode ancienne pour déterminer les coefficients du binôme, ce qui indique que la méthode était connue des mathématiciens chinois cinq siècles avant Pascal.
Le fameux triangle était également connu des mathématiciens persans, par exemple al-Karaji (953-1029) ou Omar Khayyam au 11ème siècle.
Définition
C’est l’expression de $(1+x)^\alpha$ sous forme de polynôme ou de série en la variable $x$, pour un exposant $\alpha\in \R$. Les premières séries ont été données par Newton (1642-1727) dans son traité « La méthode des fluxions et des suites infinies », publié en 1671 (Newton l’avait commencé en 1664, quand il avait 22 ans). Il a été traduit en français par Buffon (1740).
Lorsque $\alpha=n\in \N$, on obtient le polynôme\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} x^k=1+nx+\frac12n(n-1)x^2+\ldots+nx^{n-1}+x^n\]Les choses se compliquent lorsque $\alpha=-n\in \Z$ ou $\alpha=1/q\in \Q$ : il faut alors « développer en série » les fonctions $\dfrac{1}{(1+x)^n}$ ou $(1+x)^{1/q}$. Ceci permet alors d’obtenir la formule du binôme lorsque $\alpha=p/q\in \Q$ : \[(1+x)^{p/q}=\bigl((1+x)^p\bigr)^{1/q}\]La formule générale est donnée par :\[(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{1}{2!} \alpha(\alpha-1) x^2+\ldots+\frac{1}{n!}\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)x^n+\ldots\]La série est convergente pour $|x|\lt 1$.
Beaucoup de développements de fonctions classiques dans l’intervalle ${]-1,1[}$ s’obtiennent à partir de cette formule. Donnons quelques exemples. A partir du développement \[\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\ldots+(-1)^n x^n+\ldots\]on obtient, par intégration, celui du logarithme\[\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+\ldots\]A partir du développement\[\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\bigl(1+x^2\bigr)^{-1/2}=1-\frac12 x^2-\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^4+\ldots+(-1)^n \frac{1\cdot 3 \ldots 2n-1 }{2\cdot 4\cdot \ldots 2n}x^n+\ldots\]on obtient par intégration celui de la fonction $\mathrm{arcsinh}$ (en français $\mathrm{argsh}$), inverse de la fonction $\sinh$ ou $\mathrm{sh}$ :\[\mathrm{arcsinh}(x)=x-\frac12 \frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{x^5}{5}=\ldots +(-1)^n\frac{1\cdot 3 \ldots 2n-1 }{2\cdot 4\cdot \ldots 2n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\ldots\]On obtient de la même manière les développements des fonctions trigonométriques et hyperboliques inverses.