Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $p$ un entier compris entre $1$ et $n$.
Le nombre de listes (ordonnées) de $p$ éléments de $E$ deux à deux distincts est :\[n(n-1)\dotsm(n-p+1)=\prod\limits_{k=n-p+1}^n{k}.\]
Le nombre de permutationsUne permutation d’un ensemble $E$ de $n$ éléments est une liste (ordonnée) de $n$ éléments de $E$ deux à deux distincts. d’un ensemble à $n$ éléments ($n$ entier naturel non nul) est :\[n(n-1)(n-2)\dotsm3\times2\times1=\prod\limits_{k=1}^n{k}\]
Elle découle de la propriété précédente avec $p=n$.
Soit $E=\{a,b,c\}$. Les permutations des éléments de $E$ sont :\[(a,b,c),\ (a,c,b),\ (b,a,c),\ (b,c,a),\ (c,a,b),\ (c,b,a).\]
Pour faciliter les écritures, nous introduisons la définition suivante.
Soit $n$ un entier naturel non nul. Le nombre factorielle $n$, noté $n!$, est défini par :\[n!=n(n-1)(n-2)\dotsm3\times2\times1=\prod\limits_{k=1}^n{k}.\]
Nous voyons dans cette définition que $n!$ ne peut à priori être défini que pour des entiers naturels non nuls. Cette notion peut être étendue à l’ensemble des nombres complexes (à l’exception des nombres entiers négatifs ou nuls) par la fonction gamma d’Euler (notée $\Gamma$).
Cette extension sera vue en année supérieure.
Pour des raisons de commodités dans ce module (et d’autres raisons mathématiques non développées ici), nous poserons par convention : \[0!=1\]
Nous obtenons ainsi l’écriture récursive donnée dans la définition suivante.
Soit $n$ un entier naturel.\begin{align*}0!&=1 \\(n+1)!&=(n+1)(n!).\\\end{align*}Ainsi, le nombre de permutations d’un ensemble à $n$ éléments ($n$ entier naturel non nul) est $n!$.
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $p$ un entier compris entre $0$ et $n$.
Le nombre de listes de $p$ éléments de $E$ deux à deux distincts est :\[n(n-1)\dotsm(n-p+1)=\prod\limits_{k=n-p+1}^n{k}=\frac{n!}{(n-p)!}.\]