La notion de déterminant est historiquement liée à la résolution des systèmes linéaires. En 1750, Gabriel Cramer propose une étude générale de ces systèmes et en décrit les solutions.
Prenons le cas d’un système linéaires à deux équations et deux inconnues :\[\left\{\begin{array}{ccccl}a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & = &b_1\\a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & = &b_2,\end{array}\right.\]où les $a_{ij}$ et $b_i$ sont des nombres réels donnés et $x_1, x_2$ sont les inconnues.
Alors si $a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\neq 0$, ce système possède une unique solution :\[\left\{\begin{array}{rcl}x_1 & = & \dfrac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}\\&&\\x_2 & = & \dfrac{-a_{21}b_1+a_{11}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}\end{array}\right.\]Sinon le système possède une infinité de solutions ou n’en possède aucune.
Pour un système linéaire à trois équations et trois inconnues, Cramer obtient également une solution explicite :\[\left\{\begin{array}{rcl}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 &= &b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 &= &b_2\\a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 &= &b_3\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{rcl}x_1 &= & \dfrac{(a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})b_1+(a_{32}a_{13}-a_{12}a_{33})b_2+(a_{12}a_{23}-a_{22}a_{13})b_3}{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}}\\&&\\x_2 &= & \dfrac{(a_{31}a_{23}-a_{21}a_{33})b_1+(a_{11}a_{33}-a_{31}a_{13})b_2+(a_{21}a_{13}-a_{11}a_{23})b_3}{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}}\\&&\\x_3 &= & \dfrac{(a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22})b_1+(a_{31}a_{12}-a_{11}a_{32})b_2+(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})b_3}{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}}\end{array}\right.\]Et il constate que cette solution unique n’est valable que si le dénominateur $a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}$ est non nul. C’est ce nombre que l’on appellera déterminant du système. Il permet d’assurer l’existence d’une unique solution et intervient dans l’expression de cette solution.
Cramer arrivera à généraliser les formules obtenues aux systèmes de taille quelconque. Le cas à trois équations permet déjà de comprendre que la définition du déterminant ne peut pas être simple et naturelle.