Chapitre 18Déterminants

Rappelons les expressions que Cramer a associées à des systèmes/matrices de tailles 2 et 3 :\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}\longrightarrow a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.\]\[\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21}& a_{22} & a_{23} \\a_{31}& a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\longrightarrow a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}.\]Ajoutons l’expression obtenue pour une matrice de taille 4 :\[\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21}& a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31}& a_{32} & a_{33} & a_{34} \\a_{41}& a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{pmatrix}\longrightarrow\begin{align*}&a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}-a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}-a_{11}a_{24}a_{33}a_{42}+a_{11}a_{24}a_{32}a_{43} \\-&a_{12}a_{21}a_{33}a_{44}+a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}+a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}-a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}+a_{12}a_{24}a_{33}a_{41}-a_{12}a_{24}a_{31}a_{43} \\-&a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}+a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}+a_{13}a_{21}a_{32}a_{44}-a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}+a_{13}a_{24}a_{31}a_{42}-a_{13}a_{24}a_{32}a_{41} \\-&a_{14}a_{22}a_{33}a_{41}+a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}+a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}-a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}+a_{14}a_{21}a_{33}a_{42}-a_{14}a_{21}a_{32}a_{43}.\end{align*}\]

Permutations

Les 3 expressions ont déjà un point commun : elles sont toutes des sommes de produits de $n$ coefficients différents de la matrice, où $n$ désigne la taille de la matrice.
En étudiant plus précisément les différents facteurs, on constate que chaque produit est constitué de $n$ coefficients situés sur des lignes et des colonnes différentes de la matrice. En terme d’indices, on peut exprimer cela à l’aide de bijections :

• le produit $a_{11}a_{22}$ est associé à la bijection de $\{1,2\}$ définie par $1\mapsto 1$, $2\mapsto 2$ ;
• le produit $a_{13}a_{21}a_{32}$ est associé à la bijection de $\{1,2,3\}$ définie par $1\mapsto 3$, $2\mapsto 1$, $3\mapsto 2$ ;
• le produit $a_{12}a_{24}a_{33}a_{41}$ est associé à la bijection de $\{1,2,3,4\}$ définie par $1\mapsto 2$, $2\mapsto 4$, $3\mapsto 3$, $4\mapsto 1$.

Écriture en cycles disjoints

Il faut maintenant comprendre les signes attribués aux différents termes des expressions. Remarquons déjà que dans chaque cas, la moitié des termes est doté d’un signe $+$ et l’autre moitié d’un signe $-$. Afin d’établir une conjecture, nous proposons une certaine façon de décrire les bijections de $E_n$ : la décomposition en cycles disjoints.

Pour décrire une permutation, on part d’un élément de $E_n$, on considère son image par la permutation, puis l’image de cette image, et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on revienne à l’élément initial. On a ainsi décrit un cycle de la permutation. Si on décrit tous les cycles de la permutation, on décrit complètement la permutation.

Prenons par exemple la bijection de $E_4$ définie par $1\mapsto 2$, $2\mapsto 4$, $3\mapsto 3$, $4\mapsto 1$. Partons de 1 : son image est 2, l’image de 2 est 4 et l’image de 4 est de nouveau 1. Il y a un second cycle correspondant au fait que 3 est envoyé sur 3. Cette permutation sera notée $(1~2~4)$. On schématise ainsi l’action de la permutation : $1\mapsto 2\mapsto 4\mapsto 1$. L’absence de 3 dans la notation signifie qu’il est laissé fixe par la permutation.

De la même manière la permutation de $E_5$ définie par $1\mapsto 4$, $2\mapsto 5$, $3\mapsto 2$, $4\mapsto 1$, $5\mapsto 3$ sera notée $(1~4)(2~5~3)$, ou de manière équivalente $(2~5~3)(1~4)$ ou encore $(4~1)(5~3~2)$.
La permutation définie par $1\mapsto 1$, $2\mapsto 3$, $3\mapsto 2$, $4\mapsto 4$, $5\mapsto 5$ sera notée $(2~3)$.
La permutation qui laisse fixe tous les éléments de $E_n$ devrait être notée par un cycle vide. Nous la noterons simplement $\Id$ puisqu’il s’agit de l’application identité de $E_n$.

Signature d’une permutation

Reprenons maintenant nos expressions et rangeons dans un tableau les différents termes, les bijections associées écrites sous forme de cycles disjoints et leurs signes attribués :\[\begin{array}{|c|c|c|}\hlinea_{11}a_{22} & \Id & + \\\hlinea_{12}a_{21} & (1~2) & -\\\hline\end{array}\quad\begin{array}{|c|c|c|}\hlinea_{11}a_{22}a_{33} & \Id & + \\\hlinea_{12}a_{21}a_{33} & (1~2) & -\\\hlinea_{13}a_{21}a_{32} & (1~3~2) & +\\\hlinea_{11}a_{23}a_{32} & (2~3) & -\\\hlinea_{12}a_{23}a_{31} & (1~2~3) & +\\\hlinea_{13}a_{22}a_{31} & (1~3) & -\\\hline\end{array}\]

Définition classique de la signature

La signature d’une permutation est en général présentée d’une manière un peu différente (mais parfaitement équivalente). Toute permutation de $\mathfrak S_n$ peut s’obtenir en échangeant successivement 2 éléments de $E_n$. Par exemple, la permutation $1\mapsto 2$, $2\mapsto 3$, $3\mapsto 1$ que nous avons notée $(1~2~3)$ peut s’obtenir en échangeant $1$ et $2$ puis en échangeant $1$ et $3$, c’est-à-dire en composant ces deux permutations : $(1~3)\circ (1~2)$.

La signature d’une permutation est alors définie par la parité du nombre d’échanges nécessaire. Sur notre exemple, il y a deux échanges et la signature est donc $+1$. On aurait cependant pu obtenir cette même permutation en utilisant d’autres échanges : $2\leftrightarrow 3$ puis $1\leftrightarrow 2$ : $(1~2)\circ (2~3)$. Mais la parité reste la même et la signature reste $+1$. Cela reste vrai de manière générale.

Reprenons le premier exemple de l’activité précédente. La permutation est le cycle $(1~4~5~3)$. On peut l’obtenir en échangeant successivement $1\leftrightarrow 4$, $1\leftrightarrow 5$ et $1\leftrightarrow 3$. Il y a 3 échanges et la signature est donc $-1$. On aurait également pu obtenir cette permutation en échangeant successivement $3\leftrightarrow 2$, $2\leftrightarrow 1$, $5\leftrightarrow 4$, $4\leftrightarrow 2$ et $2\leftrightarrow 3$. Cela fait 5 échanges et la signature est bien $-1$.