Notion de relation
Une base des mathématiques est la notion de « relations » entre des objets, les relations pouvant être numériques, logiques… et les objets pouvant être des nombres, des structures…
La relation la plus simple est la relation binaire. Pour définir une telle relation, nous devons disposer de 2 ensembles non vides $E$ et $F$. Pour cela, à certains éléments de $E$ nous associons par une règle précise $\operatorname{R}$ (non ambiguë) un élément $y$ de $f$. Nous écrivons alors :\[\operatorname{R}\left\{\begin{array}{rl}E& \to &F \\x& \operatorname{R} &y. \\\end{array} \right.\]Il est utile de remarquer que $x$ peut être en relation avec plusieurs éléments de $F$.
Prenons $E=F$ l’ensemble d’une famille et $\operatorname{R}$ la relation « être le frère ou la sœur de ».
Lorsque $x$ est en relation avec $y$ ($x\operatorname{R} y$), on dit que $y$ est une image de $x$ par la relation $\operatorname{R}$ et que $x$ est un antécédent de $y$ par cette même relation.
L’ensemble $D$ des éléments de $E$ qui ont au moins une image par $\operatorname{R}$ est l’ensemble de définition de $\operatorname{R}$.
Notions de fonctions, d’applications
Attention ! Ces 2 notions fonction et application sont malheureusement très souvent confondues.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On appelle fonction de $E$ vers $F$ une relation qui à tout élément de $E$ associe au plus un (0 ou 1) élément de $f$.
Lorsqu’une relation $R$ est une fonction, on note $y=R(x)$, plutôt que $x R y$, l’unique image de $x$ par $R$ si cette image existe.
Cette notation fonctionnelle est due à Leibniz (Allemand 1646-1716).
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On appelle application de $E$ vers $F$ une fonction de $E$ vers $F$ qui à tout élément de $E$ associe un unique élément de $F$.
Une application de $A$ vers $B$ est donc une fonction de $A$ vers $B$ dont le domaine de définition est $A$.
Diagramme de Venn
Voici quelques exemples de représentation graphique, avec des fonctions diagrammes de VennJohn Venn (Anglais, 1834-1923) est un logicien qui généralisa la représentation sous forme de « patates » d’ensembles, de fonctions… en 1881. L’idée d’une telle représentation est due à Leonhard Euler (Suisse, 1707-1783)., des notions de fonction, d’application et de bijection.
$f:A\to B$, avec $A=\{a,b,c\}$ et $B=\{1,2,3,4\}$.
$f$ est une fonction de $A$ vers $B$ mais n’est pas une application ($d$ n’a pas d’image par $f$).
$f:A\to B$, avec $A=\{a,b,c,d\}$ et $B=\{1,2,3\}$.
$f$ est une application de $A$ vers $B$.
$f:A\to B$, avec $A=\{a,b,c,d\}$ et $B=\{1,2,3,4\}$.
$f$ est une application de $A$ vers $B$.
Recherche graphique d’image et d’antécédents pour une fonction réelle
Dans un repère, nous avons le graphe d’une fonction par exemple :\[f(x)=\begin{cases} x^2+6x+1 &\text{pour $x\lt 2$} \\ 15-x^2 &\text{pour $x\in [2,4[$} \\ x &\text{pour $x\ge 4$.}\end{cases}\]