Dans la majorité des cas, lorsque nous avons une équation à résoudre, nous ne savons pas déterminer (de manière exacte) les solutions. Mais le plus important est de connaître le nombre de solutions et donner pour chacune d’entre elles (lorsqu’elles existent) une valeur approchée aussi précise que nous voulons.
La notion « bijection » peut nous permettre de faire cela.
Montrer que l’équation $x^5+x-3=0$ a une solution unique sur $\mathbb{R}$ dont on donnera un encadrement d’amplitude $0{,}1$.
Considérons la fonction polynôme $f:x\mapsto x^5+x-3$.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=5x^4+1$. Donc $f'(x)\gt 0$ et $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.De plus, $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.
D’où $f$ est dérivable et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. $f$ établit donc une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$.Tout élément de $\mathbb{R}$, donc en particulier $0$, a un antécédent unique par $f$. Autrement dit, l’équation $x^5+x-3=0$ a une solution unique sur $\mathbb{R}$. Notons-la $\alpha$.
Un calcul sur machine donne :
- $f(0)=-3$ et $f(2)=31$. Donc :\[0\lt\alpha\lt 2.\]
- $f(1)=-1$ et $f(1{,}5)\approx 6{,}09$. Donc :\[1\lt\alpha\lt 1{,}5.\]
- $f(1{,}1) \approx -0{,}29$ et $f(1,2) \approx 0{,}69$. Donc :\[1{,}1\lt\alpha\lt 1{,}2.\]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x+1$.
Discuter le nombre de solutions dans $\mathbb{R}$ de l’équation $f(x)=m$, où $m$ est un paramètre réel.
Le nombre de solutions est égal au nombre de points d’intersection de la droite d’équation $y=m$ et de la courbe représentative de $f$. Les solutions sont les abscisses de ces points.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.De plus, $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.
D’où le tableau de variation de $f$ :en cours…
et le graphe de $f$ :en cours…On distingue 5 cas.
- $m\lt -1$
D’après l’étude des variations de $f$, l’équation $f(x)=m$ n’a pas de solution sur l’intervalle $[-1,+\infty[$, car pour $x\ge -1$, on a $f(x)\ge -1$.
Sur $]-\infty,-1[$, $f$ est continue et strictement croissante donc réalise une bijection de $]-\infty,-1[$ sur $]-\infty,3[$. Or, $m$ est élément de $]-\infty,3[$, donc $m$ a un antécédent unique par $f$, appartenant à $]-\infty,-1[$, l’équation $f(x)=m$ a une unique solution.- $m=-1$
L’équation $f(x)=-1$ a deux solutions ($-2$ et $1$).- -$1\lt m\lt 3$
L’équation $f(x)=m$ a trois solutions ; une dans chacun des intervalles $]-\infty,-1[$, $]-1;1[$, $]1,+\infty[$.- $m=3$
L’équation $f(x)=3$ a deux solutions : $-1$ et $2$.- $m\gt 3$
L’équation $f(x)=m$ a une solution unique appartenant à l’intervalle $]1,+\infty[$.