Recherche graphique de limites
Choisir une valeur $x_0$ (que l’on met en abscisse) et faire « tendre » $x$ vers $x_0$.
Constater vers quoi « tend » $f(x)$.
Voir l'animation
De même avec une fonction « tordues » telle que :\[f(x)=\begin{cases}x^2+6 & \text{pour $x\le 2$} \\-x+2 & \text{pour $2x\le 4$} \\x &\text{pour $x\gt 4$} \\\end{cases}\]
Comportement asymptotique
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par $f(x)=x+1+\dfrac{1}{x-2}$ et $g(x)=x+1$.
Soit $\Delta$ la droite d’équation $y=x+1$.
Etude graphique du comportement de $f$ et $g$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
On observe que la courbe « se rapproche » de la droite $\Delta$ quand $x$ tend vers $+\infty $. Nous avons un résultat similaire quand $x$ tend vers $-\infty $.
Nous dirons que $\Delta$ est asymptote au graphe de $f$ en $+\infty$.
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par : $f(x)=\sqrt{x^2+x-6}$ et $g(x)=x+\dfrac{1}{2}$.
Soit $\Delta$ la droite d’équation : $y=x+\frac{1}{2}$.
Etude graphique du comportement de $f$ et $g$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Nous dirons que $\Delta$ est asymptote au graphe de $f$ en $-\infty$.
Etude de la fonction « Partie entière »
La fonction « partie entière » est la fonction notée $E$ définie sur $\R$ par :\[E(x)\text{ est le plus grand entier plus petit que $x$.}\]
Donnons à cette définition une autre écriture :
\[\text{Pour tout réel $x$, il existe un unique entier (relatif) $n$ tel que : }n\le x\lt n+1.\]On a alors :\[E(x)=n.\]
$E(\pi)=3$ et $E(-\pi)=-4$.
Attention aux nombres négatifs !!!!
La fonction partie entière est aussi notée $[x]$ ou $\left\lfloor x \right\rfloor$ par les anglo-saxons.
Il existe une autre fonction du même type (non utilisée en France). De manière intuitive, cette deuxième fonction est ainsi définie : il s’agit de l’entier qu’il y a avant la virgule dans son écriture décimale. Pour cette fonction partie entière, l’image de $\pi$ est $3$ et celle de $-\pi$ est $-3$. Elle peut paraitre plus simple, plus naturelle que la fonction $E$, mais cette dernière a de bonnes propriétés.
Plus rigoureusement, cette fonction est la fonction « plafond » ou partie entière par excès définie ainsi :Pour tout nombre réel $x$ donné, plafond de $x$ noté $\text{plafond}(x)$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $x$. La fonction plafond est aussi notée $\left\lceil x \right\rceil$.
Etude de la fonction $D(x)=x-E(x)$.
Calculons par exemple $D(x)$ pour $x=3{,}4$ et $x=-3{,}4$
$D(3{,}4)=0{,}4$ et $D(-3{,}4)=0{,}6$.
On montre que $D$ est définie sur $\R$, et est périodique de période 1.On en déduit son graphe.$D$ est la fonction « partie décimale ».
Les fonctions précédentes $E$ et $D$ servent souvent d’exemples et de contre-exemples sur des problèmes de limites, continuité, périodicité…