Chapitre 19Intégrales généralisées

Considérons la fonction $\begin{array}[t]{lrcl}F: & [0,+\infty[ &\longrightarrow & \R \\& x & \longmapsto & F(x)=\displaystyle\int_0^xe^{-t}\,\mathrm{d}t.\end{array}$

Nous avons $F(x)=\bigl[-e^{-t}\bigr]_0^x=1-e^{-x}$.Calculons $\lim\limits_{x\to+\infty}\,F(x)$.
Nous obtenons $\lim\limits_{x\to+\infty}\,F(x)=1$.Nous poserons alors :\[\int_0^{+\infty}{e^{-t}\,\mathrm{d}t}=\lim\limits_{x\to+\infty}\,\int_0^xe^{-t}\,\mathrm{d}t=\lim\limits_{x\to+\infty}\,F(x)=1,\]et nous dirons que l’intégrale généralisée (ou impropre) $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}\,\mathrm{d}t$ est convergente de valeur $1$.
Nous avons ainsi une aire finie avec un périmètre infini !

Considérons la fonction $\begin{array}[t]{lrcl}G: & [1,+\infty[ &\longrightarrow & \R \\& x & \longmapsto & G(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t}\,\mathrm{d}t.\end{array}$

Nous avons $G(x)=\bigl[\ln t\bigr]_1^x=\ln x$. Calculons $\lim\limits_{x\to+\infty}\,G(x)$.
Nous obtenons $\lim\limits_{x\to+\infty}\,G(x)=+\infty $.
Nous dirons que l’intégrale généralisée (ou impropre) $\displaystyle\int_1^{+\infty}{\dfrac{1}{t}\,\mathrm{d}t}$ est divergente.
Nous avons ainsi une aire infinie avec un périmètre infini

Considérons la fonction $\begin{array}[t]{lrcl}H: & ]0,1] &\longrightarrow & \R \\& x & \longmapsto & H(x)=\displaystyle\int_x^1{\dfrac{1}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t}.\end{array}$

Nous avons $H(x)=\bigl[2\sqrt{t}\bigr]_0^x=2\left(1-\sqrt{x}\right)$. Calculons $\lim\limits_{x\to 0}\,H(x)$.
Nous obtenons $\lim\limits_{x\to 0}\,H(x)=2$.
Nous poserons alors :\[\int_0^1{\dfrac{1}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t}=\lim\limits_{x\to 0}\,\int_x^1{\dfrac{1}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t}=\lim\limits_{x\to 0}\,H(x)=2,\]et nous dirons que l’intégrale généralisée (ou impropre) $\displaystyle\int_0^1{\dfrac{1}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t}$ est convergente de valeur $2$.
Nous avons ainsi une aire finie avec un périmètre infini !

Considérons la fonction $\begin{array}[t]{lrcl}I: & \R &\longrightarrow & \R \\& x & \longmapsto & I(x)=\displaystyle\int_0^x{\sin(t)\,\mathrm{d}t}.\end{array}$

Nous avons $I(x)=\bigl[-\cos(t)\bigr]_0^x=1-\cos(x)$. Mais, $\lim\limits_{x\to+\infty}\,I(x)$ n’existe pas.
Nous dirons que l’intégrale généralisée (ou impropre) $\displaystyle\int_0^{+\infty}{\sin(t)\,\mathrm{d}t}$ est divergente.