Un des problèmes majeurs que nous rencontrons est d’étudier la nature des intégrales : convergentes ou divergentes ?Nous allons maintenant donner quelques critères qui sont des conditions suffisantes pour étudier la nature des intégrales.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux positives définies sur ${[a,b[}$ telles que pour tout $x$ de ${[a,b[}$, $f(x)\le g(x)$.
- Si $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ diverge, alors $\displaystyle\int_a^b{g(t)\,\mathrm{d}t}$ diverge.
- Si $\displaystyle\int_a^b{g(t)\,\mathrm{d}t}$ converge, alors $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ converge.
Considérons les fonctions $F$ et $G$ définie sur $[a,b[$ par :\[F(x)=\displaystyle\int_a^x{f(t)\,\mathrm{d}t}\quad\text{et}\quad G(x)=\displaystyle\int_a^x{g(t)\,\mathrm{d}t}\]D’après l’hypothèse, nous avons sur $[a,b[$, $F(x)\le G(x)$. De plus, $F$ et $G$ sont dérivables sur $[a,b[$ et $F’=f$, $G’=g$.
Donc $F$ et $G$ sont croissantes sur $[a,b[$.
- Supposons $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ diverge. Comme $F$ est croissante, $\lim\limits_{x\to b}\,F(x)=+\infty$.
Nous en déduisons que $\lim\limits_{x\to b}\,G(x)=+\infty$ et ainsi que $\displaystyle\int_a^b{g(t)\,\mathrm{d}t}$ diverge.- Supposons $\displaystyle\int_a^b{g(t)\,\mathrm{d}t}$ converge vers le réel $\ell$. Alors $\lim\limits_{x\to b}\,G(x)=\ell$.
Ainsi $F$ est croissante et majorée. Donc, il existe un réel $\ell’$ tel que $\lim\limits_{x\to b}\,F(x)=\ell’$.
Nous concluons que $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ converge.
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux, strictement positives sur ${[a,b[}$ telles que $f\underset{b}{\sim}g$.
Alors les intégrales généralisées $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ et $\displaystyle\int_a^b{g(t)\,\mathrm{d}t}$ sont de même nature.
Comme $\lim\limits_{t\to b}\,\dfrac{f(t)}{g(t)}=1$, il existe $c\in {[a,b[}$ tel que :\[\forall t\in {[a,b[},\ t\in {[c,b[}\implies \dfrac{1}{2}\le \dfrac{f(t)}{g(t)}\le \dfrac{3}{2}.\]Donc,\[\forall t\in {[a,b[},\ t\in {[c,b[}\implies \dfrac{1}{2}\,g(t)\le f(t)\le \dfrac{3}{2}\,g(t).\]On a alors :\[\begin{align*}\int_a^b{g(t)\,\mathrm{d}t}\text{ converge } &\implies \int_c^b{g(t)\,\mathrm{d}t}\text{ converge} \\&\implies \int_c^b{f(t)\,\mathrm{d}t}\text{ converge} \\&\implies \int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}\text{ converge} \\\end{align*}\]La deuxième implication provenant de l’inégalité $f(t)\le \dfrac{3}{2}\,g(t)$, la première et la troisième étant évidentes.
De même $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}\text{ converge }\implies \displaystyle\int_a^b{g(t)\,\mathrm{d}t}\text{ converge}$ grâce, cette fois, à l’inégalité $\dfrac{1}{2}\,g(t)\le f(t)$.Les intégrales sont de même nature.
Il faut être très rigoureux dans l’usage des équivalents pour établir la nature des intégrales. Il est clair que le résultat précédent reste valable si les fonctions sont strictement négatives. Mais, le résultat est faux lorsque les fonctions changent de signe (voir exercices).
Les intégrales que nous étudierons ne sont pas toujours des intégrales de fonctions positives.Dans le cas de fonctions négatives, nous pouvons adapter les critères valables pour les fonctions positives. Mais que faire quand les fonctions changent de signes ?
La notion d’absolue convergente prend ici tout son sens. Mais qu’est-ce que l’absolue convergence ?
L’intégrale généralisée $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ est dite absolument convergente si par définition $\displaystyle\int_a^b{|f(t)|\,\mathrm{d}t}$ est convergente.
Soit $f$ une fonction continue.
Si $\displaystyle\int_a^b{|f(t)|\,\mathrm{d}t}$ converge, alors $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ converge et $\left|\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}\right|\le \displaystyle\int_a^b{|f(t)|\,\mathrm{d}t}$.
Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur $[a,b[$ (la démonstration pour une fonction continue par morceaux sur ]a,b] est similaire).
Considérons les deux fonctions $g$ et $h$ définies sur $[a,b[$ par :\[g(t)=\begin{cases}&f(t) & \text{si $f(t)\ge 0$} \\&0 & \text{sinon.} \\\end{cases}\text{ et }h(t)=\begin{cases}&-f(t) & \text{ si $f(t)\le 0$} \\&0 & \text{sinon.} \\\end{cases}\]Nous avons les propriétés suivantes pour tout $t$ élément de $[a,b[$ :
- $f(t)=g(t)-h(t)$
- $|f(t)|=g(t)+h(t)$
- $0\le g(t)\le |f(t)|$
- $0\le h(t)\le |f(t)|$
Par hypothèse, $\displaystyle\int_a^b{|f(t)|\,\mathrm{d}t}$ converge.
Les propriétés 3 et 4 impliquent que $\displaystyle\int_a^b{g(t)\,\mathrm{d}t}$ et $\displaystyle\int_a^b{h(t)\,\mathrm{d}t}$ convergent.
Avec la propriété 1, nous en déduisons que $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ converge.Avec la propriété 2, nous en déduisons que $\displaystyle\int_a^b{|f(t)|\,\mathrm{d}t}=\int_a^b{g(t)\,\mathrm{d}t}+\int_a^b{h(t)\,\mathrm{d}t}$.
Et\[\begin{align*}\left|\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}\right|&=\left| \int_a^b{g(t)dt-\int_a^b{h(t)\,\mathrm{d}t}}\right| \\&\le \left| \int_a^b{g(t)\,\mathrm{d}t}\right|+\left|\displaystyle\int_a^b{h(t)\,\mathrm{d}t}\right| \\&=\int_a^b{|f(t)|\,\mathrm{d}t}.\end{align*}\]D’où le résultat.
Ce résultat important est résumé par la formule : « L’absolue convergence implique la convergence ».
Si l’intégrale généralisée $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ converge sans que $\displaystyle\int_a^b{|f(t)|\,\mathrm{d}t}$ converge, on dit que $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ est semi-convergente.