A propos de la notion d’intervalle
Un intervalle s’écrit $|a,b|$ où :
- « $|$ » remplace ici $[$ ou $]$,
- « $a$ » peut être fini ou valoir $-\infty$,
- « $b$ » peut être fini ou valoir $+\infty$.
L’intervalle est alors l’ensemble des réels compris entre $a$ et $b$, éventuellement au sens large.
L’ensemble vide $\varnothing$ est considéré comme un intervalle.
Nous verrons dans l’enseignement supérieur que la définition d’un tel intervalle s’exprime d’après la propriété suivante.
$I$ est un intervalle si et seulement si :\[\forall x\in I,\ \forall y\in I,\ x\lt z\lt y\implies z\in I.\]Autrement formulé :\[\forall x\in I,\ \forall y\in I,\ x\lt y\implies [x,y]\subset I.\]
Une partie vérifiant cette propriété est dite convexe.
Il est évident qu’un intervalle vérifie la propriété de convexité.
Montrons la réciproque.Soit $I$ convexe. Montrons qu’il est de la forme définie dans la notation.
- Si $I$ est minoré, posons $a=\inf{I}$ sinon $a=-\infty$.
- Si $I$ est majoré, posons $b=\sup{I}$ sinon $b=+\infty$.
On a donc $I$ inclus dans $[a,b]$.
Soit $z$ tel que $a \lt z\lt b$. Dans tous les cas, il existe $x$ et $y$ éléments de $I$ tels que $a\le x\lt z\lt y\le b$.
Montrons le pour $x$.
- Si $a=-\infty$, cela signifie que $I$ n’est pas minoré, et donc que $z$ ne minore pas $I$, et donc qu’il existe $x$ élément de $I$ tel que $x\lt z$.
- Si $a$ est fini, $a$ est le plus grand des minorants, donc $z$ ne minore pas $I$, et donc il existe $x$ éléments de $I$ tel que $a\le x\lt z$.
La propriété de convexité prouve que $z$ est élément de $I$. Ainsi, $]a,b[$ est inclus dans $I$. Le fait que $a$ et $b$ appartienne ou non à $I$ fermera éventuellement l’une des bornes de l’intervalle ou les deux.
L’intersection d’intervalles est un intervalle.
La réunion d’intervalles peut être ou ne pas être un intervalle.
Soient $I_1=[0,2]$ et $I_2=[3,4]$. Alors, $I_1\bigcup I_2$ n’est pas un intervalle.
A propos des limites
Soit une fonction $f$ définie en $x_0$ et admettant une limite $\ell$ en $x_0$ :\[\lim\limits_{h\to 0}\,f(x_0+h)=\ell.\]Cela signifie que quel que soit le réel $\varepsilon$ strictement positif, on peut trouver un intervalle contenant $0$ sur lequel :\[|f(x_0+h)-\ell|\le \varepsilon.\]En particulier pour $h=0$ :\[|f(x_0)-\ell|\le \varepsilon.\]Supposons $f(x_0)\ne \ell$, c’est-à-dire $|f(x_0)-\ell|\ne 0$.
Posons alors $\varepsilon=\dfrac{|f(x_0)-\ell|}{2}$ ; nous obtenons $|f(x_0)-l|\le \dfrac{|f(x_0)-\ell|}{2}$, ce qui est impossible.
Donc, $f(x_0)=\ell$.
On obtient ainsi le résultat très important suivant.
Si une fonction $f$ est définie en $x_0$ et admet une limite en $x_0$, cette limite est nécessairement $f(x_0)$.
Recherche graphique
Cette partie est en cours d’écriture et n’est pas terminée.