Chapitre 17Applications linéaires

Soient $E=\mathbb{R}_3[X]$ l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur (ou égal) à 3 (avec le polynôme nul), et $F=\mathbb{R}^2$ l’ensemble des couples de réels.
Soit l’application $f$ de $E$ dans $F$ définie par :
Pour tout $P$ élément de $E$, $P=a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0$, nous posons $f(P)=(a_3,a_2)$.
Regardons quelques propriétés de $f$.

1. Pour tout $P$ et $Q$ de $E$, $f(P+Q)=f(P)+f(Q)$
2. Pour tout $P$ de $E$ et tout réel $\alpha$, $f(\alpha P)=\alpha f(P)$.

Ces propriétés sont aisées à montrer :

1. Par exemple, nous pouvons écrire : $$\begin{align*}P&=a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0 \\Q&=b_3X^3+b_2X^2+b_1X+b_0.\end{align*}$$ Alors : $$P+Q=(a_3+b_3)X^3+(a_2+b_2)X^2+(a_1+b_1)X+(a_0+b_0).$$ Nous obtenons : $$\begin{align*}f(P+Q)&=(a_3+b_3,a_2+b_2) \\&=(a_3,a_2)+(b_3,b_2) \\&=f(P)+f(Q).\end{align*}$$
2. La preuve de la seconde propriété est similaire.

Nous dirons que comme $f$ vérifie ces deux propriétés, $f$ est une application linéaire.

Déterminons les polynômes $P$ de $E$ qui vérifient $f(P)=(0,0)$.
Avec $P=a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0$, nous obtenons : $$f(P)=(0,0 )\iff a_3=a_2=0\iff P=a_1X+a_0.$$ Donc, $f(P)=(0,0)$ si et seulement si $P$ est élément de $\mathbb{R}_1[X]$.
Enfin, nous avons sans difficulté $f(E)=F$.