Chapitre 6Limites

• $f_1(x)=\dfrac{3}{2}\dfrac{\sin(3x)}{3x}$
  Donc :\[\lim\limits_{x\to 0}{f_1}(x)=\dfrac{3}{2}.\]
• $f_2(x)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\sin(3x)}{3x}\cdot\dfrac{5x}{\sin(5x)}$
  Donc :\[\lim\limits_{x\to 0}{f_2}(x)=\dfrac{3}{5}.\]
• $f_3(x)=x\cdot\dfrac{x}{\sin(x)}$
  Donc :\[\lim\limits_{x\to 0}{f_3}(x)=0.\]
• $\lim\limits_{x\to 0}{f_4}(x)=\lim\limits_{u\to 0}\dfrac{\sin{u}}{u}=0.\]
• $f_5(x)=\dfrac{\sin(x^3)}{x^3}\cdot\dfrac{x^5}{\sin(x^5)}\cdot\dfrac{1}{x^2}$
  Donc :\[\lim\limits_{x\to 0}{f_5}(x)=+\infty.\]

On peut remarquer que dans chaque cas on a une forme indéterminée de la forme « $\infty-\infty $ ».

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-g(x)]=\lim\limits_{x\to +\infty}[x(x^2-1)]=+\infty$.
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-g(x)]=\lim\limits_{x\to +\infty}[x^2(1-x^3)]=-\infty$.
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-g(x)]=\lim\limits_{x\to +\infty}[1]$=1.
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-g(x)]=\lim\limits_{x\to +\infty}[x^{38}(1-x)]=-\infty$.

On observe une grande diversité de résultats, ce qui explique le terme de forme indéterminée.

On peut remarquer que dans chaque cas on a une forme indéterminée de la forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ».

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to +\infty}\;\frac{x^5\left(1-\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{4}{x^5}\right)}{x^3\left(1-\dfrac{6}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty}\;x^2\cdot\frac{1-\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{4}{x^5}}{1-\dfrac{6}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}}=+\infty.$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to +\infty}\;\frac{x^2\left(1-\dfrac{9}{x^2}\right)}{x^5\left(1+\dfrac{11}{x^4}+\dfrac{1}{x^5}\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{1}{x^3}\cdot\frac{1-\dfrac{9}{x^2}}{1+\dfrac{11}{x^4}+\dfrac{1}{x^5}}=0.$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to +\infty}\;\frac{x^5\left(1+\dfrac{4}{x^3}-\dfrac{7}{x^5}\right)}{x^5\left(1-\dfrac{8}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty}\;\frac{1+\dfrac{4}{x^3}-\dfrac{7}{x^5}}{1-\dfrac{8}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}}=1.$

On observe de nouveau une grande diversité au niveau des limites obtenues, ce qui explique le terme de forme indéterminée.

1. 1. Par définition de la partie entière d’un réel, on sait que pour tout réel $x$, on a :\[E(x)\le x \lt E(x)+1.\]On en déduit l’inégalité demandée.
   2. Pour tout réel $x \gt 0$, on peut diviser les membres de cette inégalité par $x$, d’où :\[1 \le\frac{E(x)}{x} \lt 1+\frac{1}{x}.\]Par encadrement, on obtient :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{E(x)}{x}=1.\]
   3. Pour tout réel $x \lt 0$, on peut diviser les membres de cette inégalité par $x$, d’où :\[1 \ge \frac{E(x)}{x} \gt 1+\frac{1}{x}.\]Par encadrement, on obtient :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{E(x)}{x}=1.\]
2. 1. On sait que pour tout réel $x\in [0,1[$, on a $E(x)=0$.
      On en déduit alors $\dfrac{E(x)}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{E(x)}{x}=0$.
   2. On sait que pour tout réel $x\in [-1,0[$, on a $E(x)=-1$.
      On en déduit alors $\dfrac{E(x)}{x}=-\dfrac{1}{x}$ et $\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{E(x)}{x}=+\infty$.
   3. les limites à droite et à gauche étant différentes, la fonction $\dfrac{E(x)}{x}$ n’admet pas de limite quand $x$ tend vers $0$.

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\cos\left(\dfrac{x+1}{x}\right)=\cos(1)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{\dfrac{2x^2-1}{x}}=+\infty$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\left(\sqrt{1+\cos(x)}+\sqrt{1-\cos(x)}\right)=\sqrt{2}$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)=0$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3x-1}-\sqrt{x^2-4x+2}\right)=\dfrac{7}{2}$
6. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(5x)}{2x}=\dfrac{5}{2}$
7. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan(x)}{x}=1$

1. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{x}}=0$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x^2}=\dfrac{1}{2}$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-\left(1+\dfrac{x}{2}\right)}{x^2}=-\dfrac{1}{8}$
4. $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2+4x+3}+x\right)=-2$
5. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{x-3}=\dfrac{1}{6}$
6. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos(mx)-\cos(nx)}{x^2}=\dfrac{n^2-m^2}{2}$
7. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan(x)-\sin(x)}{x^3}=\dfrac{1}{2}$

1. L’ensemble de définition de $f$ est : $\left]-\infty,\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right]\bigcup\left[\frac{3+\sqrt{5}}{2},+\infty\right[$.
   L’égalité demandée s’obtient soit en écrivant l’écriture canonique du polynôme du second degré $x^2-3x+1$, soit en développant l’expression ${\left(x-\dfrac{3}{2}\right)}^2-\dfrac{5}{4}$.
   Pour montrer que $C_f$ admet un axe de symétrie, nous avons 2 méthodes :
   • Pour $h\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}$, nous montrons, à l’aide de l’expression : $f(x)=\sqrt{{\left(x-\dfrac{3}{2}\right)}^2-\dfrac{5}{4}}$, que $f(x+h)=f(x-h)$.
   • Nous effectuons un changement de repère.
     Soit $O’$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{2},0\right)$ dans le repère $R$. Nous construisons le repère $R’=\left(O’,\vec{i},\vec{j}\right)$ dans lequel $C_f$ admet une équation de la forme $Y=g(X)$ où $g$ est une fonction paire.
     Ainsi, dans le nouveau repère, l’axe des ordonnées est un axe de symétrie et donc, dans le repère $R$, la droite d’équation $x=\dfrac{3}{2}$ est un axe de symétrie.
2. Pour montrer que la droite d’équation $y=x-\dfrac{3}{2}$ est asymptote à $C_f$ en $+\infty$, nous allons étudier $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(f(x)-\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\right)$.\[\lim\limits_{x\to +\infty}\left(f(x)-\left(x-\dfrac{3}{2} \right) \right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{{\left(x-\frac{3}{2} \right)}^2-\frac{5}{4}}-\left(x-\frac{3}{2} \right) \right).\]A l’aide de la technique de la quantité conjuguée, nous obtenons :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\left(f(x)-\left(x-\dfrac{3}{2} \right) \right)=0^-.\]Nous en déduisons que la droite d’équation $y=x-\dfrac{3}{2}$ est asymptote à $C_f$ en $+\infty$ et qu’au voisinage de $+\infty$, $C_f$ est au-dessous de son asymptote.
3. Soit en procédant de manière similaire, soit en utilisant la question #1 ($C_f$ admet un axe de symétrie), nous en déduisons que la droite d’équation $y=-x+\dfrac{3}{2}$ est asymptote à $C_f$ en $-\infty$ et qu’au voisinage de $-\infty$, $C_f$ est au dessous de son asymptote.